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Tout ce qui rime avec les mathématiques, les productions de Jean-Luc ROMET
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Dessins : Wilfried LEMIEUX ; conception graphique : Johann SOLON 

 

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Samedi 1 juin 2013 6 01 /06 /Juin /2013 10:36

14-Le triangle de Kanisza existe ou non

Par Jean-Luc ROMET - Publié dans : Maths en figures - Communauté : Les amis des maths
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Jeudi 16 mai 2013 4 16 /05 /Mai /2013 06:13

EUCLIDE (330 avant JC – 275 avant JC), grec : 

 

 

Euclide 00   Euclide 01

 

 

 Euclide est un savant grec qui enseignait les mathématiques à Alexandrie, en Egypte où il avait fondé la plus célèbre école de l’Antiquité.

 

Euclide 02   Euclide 03 Euclide 04  

   

 

L’œuvre d’Euclide est constituée en particulier des ‘‘Eléments’’, ensemble de 13 livres qui servent encore de modèle de nos jours à nos savants les plus illustres.

Cette œuvre est, après la Bible, celle qui a eu le plus d'éditions (plus de 800).

Les livres I, II, III, IV traitent uniquement de géométrie plane, le livre V de proportions et le livre VI des figures semblables. Les livres VII, VIII et IX sont consacrés à l'arithmétique et plus spécialement à la théorie des nombres, le livre X aux nombres transcendants. Les livres XI, XII et XIII parlent de géométrie dans l'espace avec les solides géométriques, les aires, les volumes et enfin les polyèdres réguliers.

 

Euclide 05   Euclide 06   Euclide 07

  

 

Euclide y fait une synthèse de toutes les découvertes précédentes. Il y apporte lui-même des énoncés, des constructions, des définitions, des axiomes, des postulats, des propositions et des démonstrations. On y compte 130 définitions et 465 énoncés.

On retrouve les théorèmes de Thalès et de Pythagore, les solides de Platon, les polygones réguliers avec les cercles circonscrits et inscrits, etc… Pour Euclide, les nombres sont représentables par des segments, leur produit par des rectangles et la multiplication de trois entiers est représentée par un solide. Euclide fait presque toutes les démonstrations des résultats géométriques connus à son époque.

 

En géométrie, il reprend la démonstration de Pythagore qui prouve que la somme des angles d’un triangle est égale à 180°.   Euclide 08

 

Voici les cinq postulats (ou axiomes) d'Euclide :

1er postulat :  "Par deux points, il passe une droite."

2e postulat : "Tout segment peut être prolongé autant qu'on le souhaite."

3e postulat : "De tout point, on peut tracer un cercle de n'importe quel rayon."

4e postulat : "Tous les angles droits sont égaux."

5e postulat : "Il existe une seule droite parallèle à d passant par A." 

  Euclide 12

 

En calcul, il nous laisse la division euclidienne et donc son égalité : 316 = 51 ×6 + 10. 

  Euclide 13

 

 

L’algorithme d’Euclide est un procédé qui permet de déterminer le P.G.C.D. (Plus Grand Commun Diviseur) de deux nombres entiers sans avoir à dresser la liste de leurs diviseurs.

 

Euclide nous a laissé une œuvre considérable qui a inspiré de nombreux autres mathématiciens, nous lui devons de nombreux résultats nouveaux, dans les ‘‘Eléments’’, mais aussi dans d’autres ouvrages. Son nom est attribué à de nombreux concepts mathématiques (axiome d’Euclide, division euclidienne, égalité euclidienne, espace euclidien, géométrie euclidienne, algorithme d’Euclide, anneau euclidien…).

 

Il a étudié la puissance visuelle de l'oeil et la propriété des miroirs plans.

 

Euclide 09   Euclide 10   Euclide 11

 

Il s'est aussi posé la question de la forme de notre terre.

  Euclide 14

Par Jean-Luc ROMET - Publié dans : Histoire des maths - Communauté : Les amis des maths
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Dimanche 5 mai 2013 7 05 /05 /Mai /2013 10:06

 

 

Complète ce carré magique :

 

 

avec 121 nombres :

       constante 671

 

68

81

94

107

120

1

….

27

40

….

66

….

93

106

119

11

13

….

39

52

65

….

92

105

118

….

12

….

38

51

64

77

79

…..

117

….

22

24

37

50

63

76

78

91

116

8

21

23

….

….

62

75

88

90

103

….

20

33

35

48

61

74

….

89

102

115

19

….

34

47

60

….

86

99

101

114

….

….

44

46

59

72

85

98

100

113

5

18

43

45

….

71

….

97

110

112

4

17

30

….

57

70

83

96

109

111

3

16

29

42

56

69

….

95

…..

121

2

15

….

41

54

 

 

 

 

Solutions :

 

 

avec 121 nombres : 

       constante 671

 

68

81

94

107

120

1

14

27

40

53

66

80

93

106

119

11

13

26

39

52

65

67

92

105

118

10

12

25

38

51

64

77

79

104

117

9

22

24

37

50

63

76

78

91

116

8

21

23

36

49

62

75

88

90

103

7

20

33

35

48

61

74

87

89

102

115

19

32

34

47

60

73

86

99

101

114

6

31

44

46

59

72

85

98

100

113

5

18

43

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58

71

84

97

110

112

4

17

30

55

57

70

83

96

109

111

3

16

29

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56

69

82

95

108

121

2

15

28

41

54

 

 

Par Jean-Luc ROMET - Publié dans : Maths en jeux - Communauté : Les amis des maths
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Dimanche 21 avril 2013 7 21 /04 /Avr /2013 18:46

PLATON (428 avant JC-348 avant JC)

Extrait de Ménon

 

SOCRATE : Cette surface, combien de pieds a t’elle donc ?

LE SERVITEUR : Huit pieds.

SOCRATE : À partir de quelle ligne est-elle formée ?

LE SERVITEUR : De celle-ci.

SOCRATE : De la ligne qui s’étend d’un angle à l’autre de la surface de quatre pieds ?

LE SERVITEUR : Oui.

SOCRATE : Cette ligne, les savants l’appellent la diagonale, de sorte que, supposé que ce soit là son nom, c’est à partir de la diagonale, à ce que tu dis, serviteur de Ménon, que se formerait la surface double ?

LE SERVITEUR : Parfaitement, en effet, Socrate.

SOCRATE : Que t’en semble, Ménon ? Y a-t-il une opinion que ce garçon ait formulée dans ses réponses qui ne vint pas de lui ?

MENON : Non, de lui seulement.

SOCRATE : Et cependant, il ne savait pas, comme nous le disions un peu plus tôt.

MENON : Tu dis vrai.

 

 

Omar KHAYYAM (1050-1132)

Extrait

 

O mon âme ! toi et moi sommes ensemble pareils à un compas.

En dépit de nos deux pointes, nous ne formons qu’un seul corps

Nous continuerons à tourner en cercle sur le même point,

Jusqu’à ce que nos deux pointes finissent par se joindre.

 

 

François RABELAIS (1494-1553)

1) Extrait de La Vie très horrifique du grand Gargantua

 

Sur ce, on apportait des cartes, non pas pour jouer, mais pour apprendre mille petits amusements et inventions nouvelles qui découlaient tous de l’arithmétique.

Par ce biais, il prît goût à cette science des nombres et, tous les jours, après le dîner et le souper, il y passait son temps avec autant de plaisir qu’il pouvait en prendre aux dés et aux cartes. Il en connut si bien la théorie et la pratique que Tunstal l’Anglais*, qui avait écrit d’abondance sur le sujet, confessa que, comparé à Gargantua, il n’y comprenait que le haut allemand.

Et non seulement il prît goût à cette discipline, mais aussi aux autres sciences mathématiques, comme la géométrie, l’astronomie et la musique ; car en attendant la digestion et l’assimilation de son repas, ils faisaient mille joyeux instruments et figures de géométrie et, de même, ils étudiaient les lois astronomiques.

 

*Tunstal, évêque de Durham, avait fait paraître en 1522 à Londres un fameux traité d’arithmétique.

 

 

2) Extrait de Pantagruel roy des Dipsodes

 

Des arts libéraux : géométrie, arithmétique et musique, je t’en ai donné le goût quand tu étais encore jeune, à cinq ou six ans ; continue ; de l’astronomie, apprends toutes les règles, mais laisse-moi l’astrologie et l’art de Lullius*, comme autant d’abus et de futilités.

 

* Raymond Lullius était un célèbre alchimiste espagnol du 13ème siècle.

 

 

MONTAIGNE (1533-1592)

Extrait de Les Essais

 

[…] en somme, je sait qu’il y a […] quatre parties en la Mathématique*, et grossièrement ce quoi elles visent.

 

*L’arithmétique, la musique, la géométrie et l’astronomie.

Par Jean-Luc ROMET - Publié dans : Maths et littérature - Communauté : Les amis des maths
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Vendredi 5 avril 2013 5 05 /04 /Avr /2013 06:35

13-Le mari ou le beau-père

Par Jean-Luc ROMET - Publié dans : Maths en figures - Communauté : Les amis des maths
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Samedi 16 mars 2013 6 16 /03 /Mars /2013 05:03

(du moyen âge jusqu'à aujourd'hui)

 

On abandonna le calcul digital dès les premières apparitions du calcul écrit.

 

Fin calcul digital   Bosse des maths

 

 

Les additions et soustractions se firent aisément avec des nombres entiers.

  Addition et soustraction

 

 

Les multiplications se font grâce à des duplications ou des multiplications par 10.

 

423 x 47 = 423 x 40 + 423 x 7

avec 423 x 40 =((423 x 2) x 2) x 10    et    423 x 7 = 423 x 1 + 423 x 2 + (423 x 2) x 2

 

 

Au Moyen-Age, on reprit les techniques de calcul importées d’Inde...

 

  Techniques d'Inde

 

 

C’est l'Italien Fibonacci (Léonard de Pise) vers 1220 qui donna la forme la plus proche de la nôtre aux multiplications.

 

 

Tour de Pise

 

 

En 1580, un ingénieur flamand Simon Stevin, dans un livre appelé La Disme, donne une très bonne façon de noter les nombres décimaux et explique comment effectuer de façon très simple et très pratique les opérations arithmétiques :

 

 

Pour l'addition, la disposition fut assez rapidement celle que l'on connaît.

 

La soustraction mit beaucoup plus de temps à avoir la disposition actuelle puisque jusqu'au XVIIIème siècle, on opérait de bas en haut et on barrait les chiffres au fur et à mesure qu'ils avaient été utilisés pour le calcul.

 

Pour la multiplication, plusieurs procédés avaient déjà été inventés, tels le ‘‘calcul per Gélosia’’. Le principe du procédé "per Gélosia" (rappelant les fenêtres "à jalousies" des demeures italiennes) serait apparu vers 1400 chez le mathématicien  arabe Al-Kashi et se serait propagé en Orient et en Occident.

  Calcul per Gelosia

 

La multiplication connut dans La Disme une disposition proche de celle que nous connaissons aujourd'hui. C'était une amélioration de celle utilisée en Italie, comme nous l'avons vu avec Fibonacci, notamment par des commerçants, qui l'avaient apprise des Turcs et des Libanais, qui eux-mêmes s'étaient basés sur les pratiques des Arabes et des Indiens.

 

 

La division fut divulguée beaucoup plus tard  (et difficilement). La division se fit d'abord par soustractions successives et ne prit sa forme définitive que lors des derniers siècles.

 

Division

 

 

Vers 1610, l'écossais John Néper découvre les logarithmes et en livre une table. Les logarithmes permettent de remplacer les multiplications par des additions et les divisions par des soustractions, ce qui simplifie beaucoup de calculs.

Par Jean-Luc ROMET - Publié dans : Nombres en maths - Communauté : Les amis des maths
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Dimanche 3 mars 2013 7 03 /03 /Mars /2013 13:34

12-Le cercle existe ou non, image illusoire

Par Jean-Luc ROMET - Publié dans : Maths en figures - Communauté : Les amis des maths
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Jeudi 14 février 2013 4 14 /02 /Fév /2013 10:22

(jeu de 32 cartes)

 

Dans un jeu de 32 cartes, prenez une partie du jeu d'au moins 10 cartes et de moins de 30.

 

Demandez à un spectateur :

- de compter le nombre de cartes de ce paquet ;

- de faire la somme des chiffres du nombre trouvé ;

- de repérer la carte qui occupe la position indiquée par cette somme à partir du dessus du paquet ;

- de poser le reste du jeu au-dessus du paquet ;

- de retourner l'ensemble du jeu face visible.

 

- Si le paquet avait entre 10 et 19 cartes, vous lui faites épeler F-O-R-M-I-D-A-B-L-E en égrenant les cartes au fur et à mesure, sur le E final, ce sera la bonne carte !!!

- Si le paquet avait entre 20 et 29 cartes, vous lui faites épeler F-O-R-M-I-D-A-B-L-E  puis  A-S-T-U-C-I-E-U-X  en égrenant les cartes au fur et à mesure, sur le X final, ce sera la bonne carte !!!

 

 

 

Solution :

 

La surprise est au rendez-vous avec F-O-R-M-I-D-A-B-L-E  ou  F-O-R-M-I-D-A-B-L-E  et  A-S-T-U-C-I-E-U-X.

 

L'explication est simple :

S'il y a entre 10 et 19 cartes, le nombre est de la forme 1a = 1 x 10 + a = 10 + a .

En additionnant les deux chiffres, le spectateur fait  1+ a.

Comme on retourne le jeu, pour connaître le nombre de cartes à retourner avant celle qui nous intéresse, il faut calculer : 10 + a – (1+ a) = 10 + a – 1 – a = 9.

La carte repérée est donc la 10ème qui va, jeu face visible, être égrenée.

En épelant les 10 lettres de FORMIDABLE, on arrive au résultat.

 

S'il y a entre 20 et 29 cartes, le nombre est de la forme 2a = 2 x 10 + a = 20 + a .

En additionnant les deux chiffres, le spectateur fait  2 + a.

Comme on retourne le jeu, pour connaître le nombre de cartes à retourner avant celle qui nous intéresse, il faut calculer : 20 + a – (2+ a) = 20 + a – 2 – a = 18.

La carte repérée est donc la 19ème qui va, jeu face visible, être égrenée.

En épelant les 10 lettres de FORMIDABLE plus les 9 lettres d'ASTUCIEUX, on arrive au résultat.

Par Jean-Luc ROMET - Publié dans : Maths en magie - Communauté : Les amis des maths
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Samedi 2 février 2013 6 02 /02 /Fév /2013 13:32

11-La grille d'Hermann (tâches grises)

Par Jean-Luc ROMET - Publié dans : Maths en figures - Communauté : Les amis des maths
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Dimanche 13 janvier 2013 7 13 /01 /Jan /2013 08:45

Paire :

          Une paire est un ensemble de deux éléments.

 

          Exemple : Une paire de chaussures est constituée de deux chaussures.

 

 

 Papier millimétré :

          Un papier millimétré est un quadrillage constitué de carrés d’un millimètre de côté, utilisé pour les tracés de graphiques qui exigent beaucoup de précision.  P 01

 

 

Parallèle en géographie :

          Un parallèle en géographie est un cercle imaginaire contenu dans la surface terrestre et dont le plan est parallèle au plan de l’équateur.

P 02

 

 

Parallélépipède rectangle :

          Un parallélépipède rectangle ou pavé droit est un solide géométrique de l’espace constitué de six faces rectangulaires qui sont parallèles deux à deux.

  P 03

                                                           

           Il a aussi huit sommets et douze arêtes.

 

 

Parallélogramme :

          Un parallélogramme est un quadrilatère qui a ses côtés parallèles deux à deux.

  P 04

  

          Propriétés caractéristiques :

          - Si un quadrilatère a ses côtés parallèles deux à deux, alors c’est un parallélogramme.

          - Si un quadrilatère a ses diagonales qui ont le même milieu, alors c’est un parallélogramme.

 

 

Parenthèses :

          Les parenthèses sont des symboles mathématiques représentés par  (  et  )  utilisés pour associer des nombres ou des lettres et pour indiquer des calculs prioritaires.

 

          Exemple :  Calculons 4(3x – 5) pour x = 2.

                             4(3x – 5) = 4 × (3 × 2 – 5) = 4 × (6 – 5) = 4 × 1 = 4.

  

 

Partager :

          Partager, c’est diviser en plusieurs éléments.

P 05  

           Ce segment est partagé en quatre segments.

 

 

Partie décimale :

          La partie décimale d’un nombre décimal est la partie située après la virgule.

 

          Exemple :  36 est la partie décimale du nombre 548,36.

 

 

Partie entière :

          La partie entière d’un nombre décimal est la partie située avant la virgule.

 

          Exemple :  817 est la partie entière du nombre 817,041.

 

 

Pascal :

          Blaise Pascal est un mathématicien, philosophe et physicien français du 17ème siècle (1623-1662).

          Pascal invente très jeune, à 19 ans, la première machine arithmétique permettant d’effectuer des additions et des soustractions à l’aide de simples mouvements de roue (la Pascaline).

P 06  

           Il a énormément fait progresser la géométrie en rédigeant un traité sur les coniques (courbe section d’un cône : ellipse, parabole ou hyperbole) et en organisant un concours sur les cycloïdes (étude du mouvement d’un point d’un cercle en train de rouler) au niveau mondial.

          Pascal est certainement l’un des plus grands mathématiciens, son mysticisme et ses passions l’ont certainement empêché d’être encore plus productif. Il nous laisse tout de même une oeuvre assez considérable, dont les célèbres pensées.

 

 

Patron :

          Un patron est un dessin qui permet par découpage, pliage et collage de réaliser un solide.

  

          Patron d’un cube d’arête 1 cm :

P 07   

          Patron d’un parallélépipède rectangle de dimensions 1 cm,  2 cm  et  2,5 cm : 

  P 08

 

  

          Patron d’un cylindre de révolution de hauteur 2 cm et de rayon 1 cm :

  P 09

 

  

          Patron d’un prisme droit de hauteur 2 cm et de base un triangle équilatéral de côté 1 cm :

  P 10

  

 

          Patron d’une pyramide à base carrée de côté 1,5 cm et dont les faces latérales sont des triangles équilatéraux de côté 1,5 cm :  P 11

  

 

          Patron d’un cône de révolution de rayon r :  P 12

 

 

Pavage :

          Un pavage est un recouvrement d’une partie d’un plan ou d’un espace par des figures planes ou des solides identiques.  P 13

 

 

 

Pentagone :

          Un pentagone est un polygone qui a cinq côtés.

 

P 14   P 15
  Pentagone régulier

 

 

Périmètre :

          Un périmètre est la longueur de la ligne qui délimite les contours d’une surface quelconque.

 

 

Périmètre d’un carré :

          Le périmètre d’un carré de côté  a  est  P = 4 × a .

P 16   

              4 × 3 = 12.

              Le périmètre d’un carré de côté 3 cm est 12 cm .

 

 

Périmètre d’un polygone :

          Le périmètre d’un polygone de dimensions a1, a2, ......, an est  P = a1 + a2 + ...... + an .

  P 17

 

             2 + 4 + 5 + 9 + 8 = 28 .

             Le périmètre d’un polygone de dimensions 2 cm ;  4 cm ;  5 cm ;  9 cm et  8 cm  est  28 cm .

 

 

Périmètre d’un rectangle :

          Le périmètre d’un rectangle de longueur L et de largeur l est  P = 2 × (L + l).

P 18  

             2 × (6 + 4) = 2 × 10 = 20.

             Le périmètre d’un rectangle de longueur 6 cm et de largeur 4 cm  est  20 cm. 

Par Jean-Luc ROMET - Publié dans : Maths en dico - Communauté : Les amis des maths
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