Le blog mathematique du professeur ROMETUS

Jeudi 12 avril 2007 4 12 /04 /2007 17:35

Le plus grand nombre premier à ce jour

Nombres premiers

Les nombres premiers sont les nombres entiers qui ne sont divisibles que par 1 et par eux-mêmes.

2 ; 3 ; 5 ; 7 ; 11 ; 13 ; 17 ; 19 ; 23 ; 29 ; 31 sont les premiers nombres premiers.

Les nombres premiers permettent de reconstruire n'importe quel entier par multiplication : c'est un théorème important, démontré par Gauss en 1801.

Exemple : 100 = 2² x 5².

Il existe une infinité de nombres premiers. Euclide semble l'avoir déjà démontré, puis Euler en apportera une preuve irréfutable.

Nombres de Mersenne

Un nombre premier de Mersenne est un nombre premier s'écrivant sous la forme 2^p - 1, p étant premier. Ces nombres premiers doivent leur nom à un érudit et mathématicien français du XVII^e siècle, Marin Mersenne.

Plus généralement, les nombres de Mersenne (pas nécessairement premiers, mais candidats à l'être) sont les nombres de la forme 2^p - 1, avec p premier.

Les plus petits nombres premiers de Mersenne sont:

2² - 1 = 3 ; 2³ - 1 = 7 ; 2⁵ - 1 = 31 ; 2⁷ - 1 = 127.

Mais 2¹¹ - 1 = 2047 = 23 x 89 est un nombre de Mersenne, mais non premier.

On a démontré qu'un entier de la forme 2^p - 1 ne peut pas être premier si p n'est pas lui-même premier.

Ainsi 2⁴ – 1 = 15 n'est pas de Mersenne, ni premier.

Le plus grand nombre premier découvert

Un projet informatique GIMPS (programme de recherche via Internet du plus grand nombre premier de Mersenne) a permis de déterminer le plus grand nombre premier jamais connu.

Comme ses prédécesseurs, il s'agit d'un nombre de Mersenne : 2^32.582.657- 1.

Il s'écrit avec 9.808.358 de chiffres ! C'est le dixième nombre de Mersenne premier trouvé par le projet GIMPS et le 44ème nombre de Mersenne premier connu. On l'appelle : M44. Il a été découvert le 4 septembre 2006 par deux professeurs d'une Université du Missouri, qui avaient déjà découvert M43 neuf mois auparavant.

Les participants au GIMPS se demandaient si M44 allait enfin dépasser la barrière psychologique des 10 millions de chiffres, et s'il allait rapporter à son découvreur une partie du prix de 100.000 dollars. Finalement non, le suspense continue et que tous espèrent devenir cet illustre découvreur.

Lancé en janvier 1996, le projet GIMPS a pour but de trouver de nouveaux nombres de Mersenne premiers. Des dizaines de milliers de PC dans le monde sont connectés via Internet. Ils effectuent des multiplications sur des nombres ayant maintenant plus de 10 millions de chiffres.

Certains contributeurs se lancent même à la recherche d'un nombre de Mersenne premier de plus de 100 millions de chiffres (1 million de dollars de prime !).

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Jeudi 12 avril 2007 4 12 /04 /2007 17:28

Les combles du mathématicien

a) C'est de se faire piquer sa moitié par un tiers dans un car.

b) C'est de se coucher avec une inconnue et de se réveiller avec un problème.

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Mercredi 4 avril 2007 3 04 /04 /2007 11:11

Mort de Gustave CHOQUET

C'est le 14 novembre 2006 qu'est mort l'un des "parrains" de l'histoire illustrée des mathématiciens, le premier ouvrage que j'avais réalisé avec des élèves. Il avait aimablement accepté de le relire avec quelques autres grands mathématiciens.

Gustave Choquet est né le 1^er mars 1915 à Solesmes (Nord). Il est élève de l'École normale supérieure de 1934 à 1938 et obtiendra l'agrégation de Mathématiques (où il est reçu premier en 1937). Il deviendra Docteur ès Sciences Mathématiques en 1946. Il sera Professeur, puis Maître de conférences à Grenoble, à Paris et plus tard à l'École polytechnique.

Il dirigera des travaux au niveau international pour l'amélioration de l'enseignement des mathématiques.

Gustave Choquet a été non seulement le créateur d’une œuvre mathématique vaste et profonde, mais aussi un enseignant hors pair. Personnalité marquante, très attachante, adoré de ses étudiants, son immense talent n’avait d’égal que son charisme personnel.

Les travaux de Gustave Choquet ont profondément marqué l’extraordinaire développement de l’analyse mathématique au cours de la deuxième moitié du vingtième siècle. Il a renouvelé la discipline et son influence dans l’enseignement des mathématiques continue de toucher de nombreuses générations.

Il est élu Membre de l’Académie des sciences (section de mathématique) le 29 novembre 1976. Il a obtenu de nombreux prix pour sa contribution scientifique et a reçu la légion d'honneur.

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Mercredi 4 avril 2007 3 04 /04 /2007 11:07

Refus de la médaille Fields et d'1 million de dollars

Henri POINCARE :

Plus de 90 ans après sa mort, Henri Poincaré, mathématicien de génie, cousin du président Raymond Poincaré, a donné du fil à retordre à l'élite de la communauté mathématique mondiale. Il a émis en 1904 une courte conjecture sur les formes géométriques à trois dimensions, qui porte depuis son nom.

Conjecture de Poincaré :

Commençons par la dimension 1. Sur une feuille de papier, tracez une ligne sinueuse fermée, on peut la déformer sans la briser pour obtenir un cercle. Voilà la conjecture de Poincaré en dimension 1.

Passons en dimension 2. Imaginons une sorte de patate, dans l’espace, et plus exactement la peau de cette patate, sa surface. On peut la déformer, en imaginant qu’elle est élastique, pour qu’elle devienne une sphère. Voilà la conjecture de Poincaré en dimension 2.

La conjecture de Poincaré s’énonce en toute dimension : 3, 4, etc.

On a démontré qu’elle était vraie en dimensions 1, 2, mais aussi en dimensions 4, 5, et toutes les dimensions supérieures. Mais il manquait la dimension 3, depuis 1904.

En dimension 3, il faudrait imaginer qu’on a un volume, plongé dans l’espace à 4 dimensions. qui soit raisonnablement bosselé, et surtout sans trou. Il fallait démontrer qu'on peut le déformer pour qu’il devienne une "sphère" de dimension 3.

Et bien c’est ce qu'a réussi Grégori Perelman.

Grégori PERELMAN :

Ce mathématicien russe, à qui on a attribué la médaille Fields en 2006, pour ses extraordinaires travaux, a refusé sa récompense et ne s'est pas présenté en la qualifiant de «sans intérêt».

Le savant de Saint-Pétersbourg a pratiquement coupé tout contact avec ses pairs après avoir présenté sur Internet sa démonstration en 2003 d'un problème qui passionne depuis plus de 100 ans les spécialistes.

Ce «génie» de 40 ans se serait retiré loin des hommes dans sa région natale de Saint-Pétersbourg. Ce n'est pas la première fois qu'il refuse les honneurs. En 1996, il se paye le luxe de refuser le prix du Congrès européen des mathématiciens au motif, selon la presse russe, que le jury n'est pas compétent.

D'autre part, comme la conjecture de Poincaré est l'un des 7 "problèmes du millénaire", il avait le droit à une prime d'1 million de dollars qu'il a décliné, pour la raison qu’en Russie, l’argent génère toujours la violence. Volontairement, il a omis de publier ses travaux dans une revue internationale comme le veut l'usage.

Article écrit à partir des écrits de Guy MARION : http://abcmaths.free.fr/gregoryperelman.htm

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Dimanche 18 mars 2007 7 18 /03 /2007 20:35

Le mathématicien et la rigueur

Un mathématicien, un physicien et un biologiste sont dans un train en Irlande. Par la fenêtre, ils aperçoivent un mouton noir.
Le biologiste s'exclame : “ Comme c'est intéressant, en Irlande, les moutons sont noirs !"
Le physicien réplique : "On ne peut pas dire ça. On en déduit plutôt qu'il existe au moins un mouton noir en Irlande."
Le mathématicien continue : "Allons, allons, la seule chose que l'on puisse affirmer, c'est qu'il existe au moins un mouton, dont au moins un côté du mouton est noir ! ”

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Samedi 10 mars 2007 6 10 /03 /2007 17:28

Les médailles Fields

Au congrès international des mathématiciens de 1924 à Toronto, le mathématicien canadien John C. Fields, proposa de décerner, à chaque congrès, deux médailles en or pour récompenser des progrès remarquables en mathématiques.

Ce n'est qu'au congrès de Zurich, en 1932, suite à la mort de Fields et à un legs qu'il fit pour la mise en oeuvre de ces médailles, que la proposition fut acceptée. Fields avait précisé dans son legs que, s'il s'agissait de reconnaître un travail déjà effectué, la médaille devait être également un encouragement à réaliser d'autres progrès en mathématiques. C'est ainsi que la coutume s'imposa de décerner la médaille à des mathématiciens encore jeunes, de moins de 40 ans.

La médaille Fields est clairement la récompense la plus prestigieuse en mathématiques. Pourquoi n'y a-t-il pas de prix Nobel en mathématiques ? Nobel semble avoir eu une inimitié le plus grand mathématicien suédois du début du siècle.

Les médailles Fields décernées sont au nombre de 2 à 4 tous les 4 ans. En tout, depuis 1936, ont été décernées 48 médailles. Les médailles sont attribuées par un comité désigné par l'Union mathématique internationale.

Voici le palmarès de la médaille Fields (équivalent du prix Nobel destiné aux mathématiciens de moins de 40 ans) depuis 1936 :

1936 : Lars AHLFORS (Finlande) ; Jesse DOUGLAS (États-Unis)

1950 : Laurent SCHWARZ (France) ; Atle SELBERG (Norvège)

1954 : Jean-Pierre SERRE (France) ; Kunihiko KODAIRA (Japon)

1958 : Klaus ROTH (Grande-Bretagne) ; René THOM (France)

1962 : Lars HORMANDER (Suède) ; John MILNOR (États-Unis)

1966 : Michael ATIAH (Grande-Bretagne) ; Paul COHEN (États-Unis) ; Stephen SMALE (États-Unis) ; Alexander GROTHENDIECK (France)

1970 : Alan BAKER (Grande-Bretagne) ; John THOMPSON (États-Unis) ; Sergeï NOVIKOV (U.R.S.S.) ; Heike HIRONAKA (Japon)

1974 : Enrique BOMBIERI (Italie) ; David MUMFORD (États-Unis)

1978 : Pierre DELIGNE (Belgique) ; Charles FEFFERMAN (États-Unis) ; Daniel QUILLEN (États-Unis) ; Grigori MARGOULIS (U.R.S.S.)

1982 : Alain CONNES (France) ; William THURSTON (États-Unis) ; Shing TUNG-YAU (États-Unis)1986 : Simon DONALDSON (Grande-Bretagne) ; Gerd FALTINGS (Allemagne) ; Mickael FREEDMAN (États-Unis)

1990 : Edward WITTEN (États-Unis) ; Vaughan JONES (Nouvelle-Zélande) ; Vladimir DRINFELD (U.R.S.S.) ; Shigefumi MORI (Japon)

1994 : Jean BOURGAIN (Belgique) ; Jean-Christophe YOCCOZ (France) ; Pierre-Louis LIONS (France) ; Efim ZELMANOV (Russie)

1998 : Maxim KONTSEVITCH (Russie) ; Richard BORCHERDS (Afrique du sud) ; Timothy GOWERS (Grande-Bretagne) ; Curtis McMULLEN (États-Unis)

2002 : Laurent LAFFORGUE (France) ; Vladimir VOEVODSKY (Russie)

2006 : Andrei OKOUNKOV (Russie) , Grigori PERELMAN (Russie), Terence TAO (Australie), Wendelin WERNER (France).

Soit depuis 1936, 13 mathématiciens des États-Unis, 9 de France, 5 de Grande-Bretagne, 5 de Russie, 3 d'U.R.S.S., 3 du Japon, 2 de Belgique, 1 de Norvège, 1 de Finlande, 1 d'Allemagne, 1 de Suède, 1 d'Italie, 1 de Nouvelle-Zélande, 1 d'Australie, 1 d'Afrique du sud.

En France, le niveau en mathématique est donc très élevé et nos mathématiciens sont remarquables.

Voici les 9 mathématiciens français titulaires de la médaille Fields :

1950 :

Laurent SCHWARZ

1954 :

Jean-Pierre SERRE

1958 :

René THOM

1966 :

Alexander GROTHENDIECK

1982 :

Alain CONNES

1994 :

Jean-Christophe YOCCOZ

1994 :

Pierre-Louis LIONS

2002 :

Laurent LAFFORGUE

2006 :

Wendelin WERNER

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Samedi 10 mars 2007 6 10 /03 /2007 14:04

Les mathématiques... aujourd'hui

A travers le monde, on a aujourd'hui plus de 100 000 mathématiciens qui communiquent entre eux notamment avec Internet. Ils publient près de 200 000 nouveaux théorèmes par an qui servent ou serviront dans de nombreux domaines :

Les technologies modernes, les communications, la téléphonie mobile, le domaine numérique, le réseau Internet, l'informatique, les transports, l'industrie automobile, l'aéronautique, le secteur spatial , la construction, le génie civil, l'armement, la cryptographie, l'électronique, l'étude des particules, le domaine médical, la production d'énergie, la simulation 3D, la météorologie, la modélisation, l'environnement, les statistiques, le domaine financier...

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Jeudi 22 février 2007 4 22 /02 /2007 20:13

Pour un mathématicien, il y a toujours une solution !

Un ingénieur se réveille et sent de la fumée. Il sort dans le couloir et voir des flammes.
Il remplit la poubelle de sa chambre d'eau et éteint le feu.

Puis il retourne se coucher .

Un physicien se réveille et sent de la fumée. Il sort dans le couloir et voir des flammes.
Il court jusqu'à une bouche à incendie et après calculs de la vitesse de la flamme, de la distance, de la pression de l'eau, de la trajectoire , etc ... il éteint le feu avec la quantité minimale d'eau et d'énergie.

Puis il retourne se coucher .

Un mathématicien se réveille et sent de la fumée. Il sort dans le couloir et voit des flammes.
Il réfléchit un moment et s'exclame : "Ah ! Il existe une solution !".
Puis il retourne se coucher .

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Mercredi 21 février 2007 3 21 /02 /2007 21:30

Maths et jeux

Dans cette rubrique du site MATHS-ROMETUS, vous sont proposées de nombreuses activités que vous pouvez tous réussir quelque soit votre niveau en mathématiques. Vous pouvez découvrir les carrés magiques et vous entraîner dessus, faire des jeux géométriques avec des allumettes, faire des jeux avec des chiffres ou des nombres, connaître les sudokus et vous entraîner dessus, compléter des suites d'opérations originales.

Cette rubrique vient juste d'être finie !!! youpi !!!!!!

Clique sur :

http://www.maths-rometus.org/mathematiques/maths-et-jeux/

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Jeudi 15 février 2007 4 15 /02 /2007 14:10

7 millions de dollars...

pour les 7 "problèmes du millénaire"

C'est au collège de France, à Paris, le 24 mai 2000, que Landon CLAY, américain, proposa de récompenser d'une prime d'1 million de dollars chacun des mathématiciens qui résoudrait l'un des 7 problèmes considérés comme fondamentaux en ce début de 21^ème siècle :

La conjecture de Poincaré, L'hypothèse de Riemann, la conjecture de Hodge, le problème de Cook, les équations de Navier-Stokes, la théorie de Yang-Mills, La conjecture de Swinnerton-Dyer.

Ces sept problèmes sont importants, leur résolution aura de grandes conséquences, on ne sait pas forcément encore lesquelles.

Celui qui n'est pas mathématicien a bien du mal à croire que des problèmes puissent mettre quelques fois des siècles pour être résolus (Le célèbre théorème de Fermat a mis plus de 300 ans avant d'être démontré). Ces 7 problèmes seront peut-être, quand à eux, résolus dans les années qui viennent, l'un d'eux, la conjecture de Poincaré vient d'être résolu par le russe Grigori Perelman.

Il n'y a pas de date limite pour remporter ces prix.

100 ans plus tôt, en 1900, c'est David Hilbert qui avait, au Congrès International des mathématiques, lancé un défi autour de 23 problèmes ouverts (dont 22 sont aujourd'hui résolus ou partiellement résolus).

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