articles sur les maths

Jeudi 15 février 2007

7 millions de dollars...

pour les 7 "problèmes du millénaire"

C'est au collège de France, à Paris, le 24 mai 2000, que Landon CLAY, américain, proposa de récompenser d'une prime d'1 million de dollars chacun des mathématiciens qui résoudrait l'un des 7 problèmes considérés comme fondamentaux en ce début de 21^ème siècle :

La conjecture de Poincaré, L'hypothèse de Riemann, la conjecture de Hodge, le problème de Cook, les équations de Navier-Stokes, la théorie de Yang-Mills, La conjecture de Swinnerton-Dyer.

Ces sept problèmes sont importants, leur résolution aura de grandes conséquences, on ne sait pas forcément encore lesquelles.

Celui qui n'est pas mathématicien a bien du mal à croire que des problèmes puissent mettre quelques fois des siècles pour être résolus (Le célèbre théorème de Fermat a mis plus de 300 ans avant d'être démontré). Ces 7 problèmes seront peut-être, quand à eux, résolus dans les années qui viennent, l'un d'eux, la conjecture de Poincaré vient d'être résolu par le russe Grigori Perelman.

Il n'y a pas de date limite pour remporter ces prix.

100 ans plus tôt, en 1900, c'est David Hilbert qui avait, au Congrès International des mathématiques, lancé un défi autour de 23 problèmes ouverts (dont 22 sont aujourd'hui résolus ou partiellement résolus).

Par ROMET
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Samedi 10 mars 2007

Les mathématiques... aujourd'hui

A travers le monde, on a aujourd'hui plus de 100 000 mathématiciens qui communiquent entre eux notamment avec Internet. Ils publient près de 200 000 nouveaux théorèmes par an qui servent ou serviront dans de nombreux domaines :

Les technologies modernes, les communications, la téléphonie mobile, le domaine numérique, le réseau Internet, l'informatique, les transports, l'industrie automobile, l'aéronautique, le secteur spatial , la construction, le génie civil, l'armement, la cryptographie, l'électronique, l'étude des particules, le domaine médical, la production d'énergie, la simulation 3D, la météorologie, la modélisation, l'environnement, les statistiques, le domaine financier...

Par ROMET
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Samedi 10 mars 2007

Les médailles Fields

Au congrès international des mathématiciens de 1924 à Toronto, le mathématicien canadien John C. Fields, proposa de décerner, à chaque congrès, deux médailles en or pour récompenser des progrès remarquables en mathématiques.

Ce n'est qu'au congrès de Zurich, en 1932, suite à la mort de Fields et à un legs qu'il fit pour la mise en oeuvre de ces médailles, que la proposition fut acceptée. Fields avait précisé dans son legs que, s'il s'agissait de reconnaître un travail déjà effectué, la médaille devait être également un encouragement à réaliser d'autres progrès en mathématiques. C'est ainsi que la coutume s'imposa de décerner la médaille à des mathématiciens encore jeunes, de moins de 40 ans.

La médaille Fields est clairement la récompense la plus prestigieuse en mathématiques. Pourquoi n'y a-t-il pas de prix Nobel en mathématiques ? Nobel semble avoir eu une inimitié le plus grand mathématicien suédois du début du siècle.

Les médailles Fields décernées sont au nombre de 2 à 4 tous les 4 ans. En tout, depuis 1936, ont été décernées 48 médailles. Les médailles sont attribuées par un comité désigné par l'Union mathématique internationale.

Voici le palmarès de la médaille Fields (équivalent du prix Nobel destiné aux mathématiciens de moins de 40 ans) depuis 1936 :

1936 : Lars AHLFORS (Finlande) ; Jesse DOUGLAS (États-Unis)

1950 : Laurent SCHWARZ (France) ; Atle SELBERG (Norvège)

1954 : Jean-Pierre SERRE (France) ; Kunihiko KODAIRA (Japon)

1958 : Klaus ROTH (Grande-Bretagne) ; René THOM (France)

1962 : Lars HORMANDER (Suède) ; John MILNOR (États-Unis)

1966 : Michael ATIAH (Grande-Bretagne) ; Paul COHEN (États-Unis) ; Stephen SMALE (États-Unis) ; Alexander GROTHENDIECK (France)

1970 : Alan BAKER (Grande-Bretagne) ; John THOMPSON (États-Unis) ; Sergeï NOVIKOV (U.R.S.S.) ; Heike HIRONAKA (Japon)

1974 : Enrique BOMBIERI (Italie) ; David MUMFORD (États-Unis)

1978 : Pierre DELIGNE (Belgique) ; Charles FEFFERMAN (États-Unis) ; Daniel QUILLEN (États-Unis) ; Grigori MARGOULIS (U.R.S.S.)

1982 : Alain CONNES (France) ; William THURSTON (États-Unis) ; Shing TUNG-YAU (États-Unis)1986 : Simon DONALDSON (Grande-Bretagne) ; Gerd FALTINGS (Allemagne) ; Mickael FREEDMAN (États-Unis)

1990 : Edward WITTEN (États-Unis) ; Vaughan JONES (Nouvelle-Zélande) ; Vladimir DRINFELD (U.R.S.S.) ; Shigefumi MORI (Japon)

1994 : Jean BOURGAIN (Belgique) ; Jean-Christophe YOCCOZ (France) ; Pierre-Louis LIONS (France) ; Efim ZELMANOV (Russie)

1998 : Maxim KONTSEVITCH (Russie) ; Richard BORCHERDS (Afrique du sud) ; Timothy GOWERS (Grande-Bretagne) ; Curtis McMULLEN (États-Unis)

2002 : Laurent LAFFORGUE (France) ; Vladimir VOEVODSKY (Russie)

2006 : Andrei OKOUNKOV (Russie) , Grigori PERELMAN (Russie), Terence TAO (Australie), Wendelin WERNER (France).

Soit depuis 1936, 13 mathématiciens des États-Unis, 9 de France, 5 de Grande-Bretagne, 5 de Russie, 3 d'U.R.S.S., 3 du Japon, 2 de Belgique, 1 de Norvège, 1 de Finlande, 1 d'Allemagne, 1 de Suède, 1 d'Italie, 1 de Nouvelle-Zélande, 1 d'Australie, 1 d'Afrique du sud.

En France, le niveau en mathématique est donc très élevé et nos mathématiciens sont remarquables.

Voici les 9 mathématiciens français titulaires de la médaille Fields :

1950 :

Laurent SCHWARZ

1954 :

Jean-Pierre SERRE

1958 :

René THOM

1966 :

Alexander GROTHENDIECK

1982 :

Alain CONNES

1994 :

Jean-Christophe YOCCOZ

1994 :

Pierre-Louis LIONS

2002 :

Laurent LAFFORGUE

2006 :

Wendelin WERNER

Par ROMET
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Mercredi 4 avril 2007

Refus de la médaille Fields et d'1 million de dollars

Henri POINCARE :

Plus de 90 ans après sa mort, Henri Poincaré, mathématicien de génie, cousin du président Raymond Poincaré, a donné du fil à retordre à l'élite de la communauté mathématique mondiale. Il a émis en 1904 une courte conjecture sur les formes géométriques à trois dimensions, qui porte depuis son nom.

Conjecture de Poincaré :

Commençons par la dimension 1. Sur une feuille de papier, tracez une ligne sinueuse fermée, on peut la déformer sans la briser pour obtenir un cercle. Voilà la conjecture de Poincaré en dimension 1.

Passons en dimension 2. Imaginons une sorte de patate, dans l’espace, et plus exactement la peau de cette patate, sa surface. On peut la déformer, en imaginant qu’elle est élastique, pour qu’elle devienne une sphère. Voilà la conjecture de Poincaré en dimension 2.

La conjecture de Poincaré s’énonce en toute dimension : 3, 4, etc.

On a démontré qu’elle était vraie en dimensions 1, 2, mais aussi en dimensions 4, 5, et toutes les dimensions supérieures. Mais il manquait la dimension 3, depuis 1904.

En dimension 3, il faudrait imaginer qu’on a un volume, plongé dans l’espace à 4 dimensions. qui soit raisonnablement bosselé, et surtout sans trou. Il fallait démontrer qu'on peut le déformer pour qu’il devienne une "sphère" de dimension 3.

Et bien c’est ce qu'a réussi Grégori Perelman.

Grégori PERELMAN :

Ce mathématicien russe, à qui on a attribué la médaille Fields en 2006, pour ses extraordinaires travaux, a refusé sa récompense et ne s'est pas présenté en la qualifiant de «sans intérêt».

Le savant de Saint-Pétersbourg a pratiquement coupé tout contact avec ses pairs après avoir présenté sur Internet sa démonstration en 2003 d'un problème qui passionne depuis plus de 100 ans les spécialistes.

Ce «génie» de 40 ans se serait retiré loin des hommes dans sa région natale de Saint-Pétersbourg. Ce n'est pas la première fois qu'il refuse les honneurs. En 1996, il se paye le luxe de refuser le prix du Congrès européen des mathématiciens au motif, selon la presse russe, que le jury n'est pas compétent.

D'autre part, comme la conjecture de Poincaré est l'un des 7 "problèmes du millénaire", il avait le droit à une prime d'1 million de dollars qu'il a décliné, pour la raison qu’en Russie, l’argent génère toujours la violence. Volontairement, il a omis de publier ses travaux dans une revue internationale comme le veut l'usage.

Article écrit à partir des écrits de Guy MARION : http://abcmaths.free.fr/gregoryperelman.htm

Par ROMET
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Mercredi 4 avril 2007

Mort de Gustave CHOQUET

C'est le 14 novembre 2006 qu'est mort l'un des "parrains" de l'histoire illustrée des mathématiciens, le premier ouvrage que j'avais réalisé avec des élèves. Il avait aimablement accepté de le relire avec quelques autres grands mathématiciens.

Gustave Choquet est né le 1^er mars 1915 à Solesmes (Nord). Il est élève de l'École normale supérieure de 1934 à 1938 et obtiendra l'agrégation de Mathématiques (où il est reçu premier en 1937). Il deviendra Docteur ès Sciences Mathématiques en 1946. Il sera Professeur, puis Maître de conférences à Grenoble, à Paris et plus tard à l'École polytechnique.

Il dirigera des travaux au niveau international pour l'amélioration de l'enseignement des mathématiques.

Gustave Choquet a été non seulement le créateur d’une œuvre mathématique vaste et profonde, mais aussi un enseignant hors pair. Personnalité marquante, très attachante, adoré de ses étudiants, son immense talent n’avait d’égal que son charisme personnel.

Les travaux de Gustave Choquet ont profondément marqué l’extraordinaire développement de l’analyse mathématique au cours de la deuxième moitié du vingtième siècle. Il a renouvelé la discipline et son influence dans l’enseignement des mathématiques continue de toucher de nombreuses générations.

Il est élu Membre de l’Académie des sciences (section de mathématique) le 29 novembre 1976. Il a obtenu de nombreux prix pour sa contribution scientifique et a reçu la légion d'honneur.

Par ROMET
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Jeudi 12 avril 2007

Le plus grand nombre premier à ce jour

Nombres premiers

Les nombres premiers sont les nombres entiers qui ne sont divisibles que par 1 et par eux-mêmes.

2 ; 3 ; 5 ; 7 ; 11 ; 13 ; 17 ; 19 ; 23 ; 29 ; 31 sont les premiers nombres premiers.

Les nombres premiers permettent de reconstruire n'importe quel entier par multiplication : c'est un théorème important, démontré par Gauss en 1801.

Exemple : 100 = 2² x 5².

Il existe une infinité de nombres premiers. Euclide semble l'avoir déjà démontré, puis Euler en apportera une preuve irréfutable.

Nombres de Mersenne

Un nombre premier de Mersenne est un nombre premier s'écrivant sous la forme 2^p - 1, p étant premier. Ces nombres premiers doivent leur nom à un érudit et mathématicien français du XVII^e siècle, Marin Mersenne.

Plus généralement, les nombres de Mersenne (pas nécessairement premiers, mais candidats à l'être) sont les nombres de la forme 2^p - 1, avec p premier.

Les plus petits nombres premiers de Mersenne sont:

2² - 1 = 3 ; 2³ - 1 = 7 ; 2⁵ - 1 = 31 ; 2⁷ - 1 = 127.

Mais 2¹¹ - 1 = 2047 = 23 x 89 est un nombre de Mersenne, mais non premier.

On a démontré qu'un entier de la forme 2^p - 1 ne peut pas être premier si p n'est pas lui-même premier.

Ainsi 2⁴ – 1 = 15 n'est pas de Mersenne, ni premier.

Le plus grand nombre premier découvert

Un projet informatique GIMPS (programme de recherche via Internet du plus grand nombre premier de Mersenne) a permis de déterminer le plus grand nombre premier jamais connu.

Comme ses prédécesseurs, il s'agit d'un nombre de Mersenne : 2^32.582.657- 1.

Il s'écrit avec 9.808.358 de chiffres ! C'est le dixième nombre de Mersenne premier trouvé par le projet GIMPS et le 44ème nombre de Mersenne premier connu. On l'appelle : M44. Il a été découvert le 4 septembre 2006 par deux professeurs d'une Université du Missouri, qui avaient déjà découvert M43 neuf mois auparavant.

Les participants au GIMPS se demandaient si M44 allait enfin dépasser la barrière psychologique des 10 millions de chiffres, et s'il allait rapporter à son découvreur une partie du prix de 100.000 dollars. Finalement non, le suspense continue et que tous espèrent devenir cet illustre découvreur.

Lancé en janvier 1996, le projet GIMPS a pour but de trouver de nouveaux nombres de Mersenne premiers. Des dizaines de milliers de PC dans le monde sont connectés via Internet. Ils effectuent des multiplications sur des nombres ayant maintenant plus de 10 millions de chiffres.

Certains contributeurs se lancent même à la recherche d'un nombre de Mersenne premier de plus de 100 millions de chiffres (1 million de dollars de prime !).

Par ROMET
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Lundi 28 mai 2007

Plus de 300 ans pour démontrer un théorème

Pierre de FERMAT :

Pierre de Fermat est né le 20 août 1601 près de Montauban et décédé le 12 janvier 1665 à Castres, était un juriste et mathématicien français, surnommé « le prince des amateurs ».

Son père était un marchand. Sa mère était professeur de mathématiques. Il fait des études de droit puis devient magistrat. C'est en dehors de son travail qu'il s'adonne aux mathématiques, en écrivant en marge de textes qu'il lit des annotations. Il proposera plusieurs théories qu'il ne démontrera pas.

Voici le théorème de Fermat (qu'on devrait appeler conjecture de Fermat) :

Énoncé: pour tout entier n > 2, il n'existe pas d'entiers non nuls x, y et z tels que xⁿ + yⁿ = zⁿ.

Pour n = 2, il existe ces entiers, par exemple 3² + 4² = 5².

C'est après sa mort, en 1670, que son théorème est exposé au public et l'on devra attendre jusqu'au 19 septembre 1994 pour qu'il soit prouvé par le mathématicien anglais Andrew Wiles.

Démonstration par Andrew WILES :

Sir Andrew John Wiles, né le11 avril 1953 à Cambridge, est un mathématicien britannique. Il est surtout connu pour sa démonstration du dernier théorème de Fermat en 1994 (à l'âge de 41 ans), résolvant ainsi l'un des problèmes les plus connus de l'histoire des mathématiques.

Il devient professeur à l'Université de Princeton au New Jersey en 1982. En ce qui concerne la démonstration du dernier théorème de Fermat, l'odyssée de Wiles commence en 1985 quand un mathématicien démontre que ce théorème résulterait d'une conjecture qui touche à la théorie des nombres.

Cependant, personne n'a la moindre piste de travail pour la démontrer. Travaillant dans le plus grand secret pendant huit ans, Wiles démontre cette conjecture et, par voie de conséquence, le théorème de Fermat.

En 1993, il dévoile sa démonstration, on lui trouvera quelques points de détails à modifier, et c'est en 1994 que sa version sera définitivement approuvée par le monde scientifique.

Son travail met ainsi fin à une recherche qui a duré plus de 300 ans.

Wiles a aussitôt été pressenti pour recevoir la médaille Fields, mais il avait à la fin de sa démonstration plus de 40 ans. En 1998, au Congrès International des mathématiques, on lui attribua la première plaque d'argent de l'Union Mathématique Internationale en reconnaissance de ses travaux.

Par ROMET
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Mardi 10 juillet 2007

Prix ABEL des mathématiques

Le gouvernement norvégien a annoncé qu'à l'occasion du bicentenaire de la naissance du mathématicien norvégien Niels Henrik Abel (1802) serait créé un nouveau prix pour les mathématiciens.

Niels ABEL (1802-1829)

Cette création a pour but de combler l'absence de prix Nobel en mathématiques, bien qu'on considérait toutefois que la médaille Fields en était l'équivalent. Ce prix pourra être attribué à des mathématiciens de plus de 40 ans contrairement à la médaille Fields. Le prix est décerné par l'Académie norvégienne des sciences et des lettres. Le comité de sélection est composé de cinq mathématiciens internationaux. La prime attribuée vaut environ 730 000 euros.

Palmarès actuel :

2003 : Jean-Pierre SERRE (France)
2004 : Michael ATIYAH (Royaume-Uni) et Isadore SINGER (États-Unis)
2005 : Peter LAX (Hongrie)
2006 : Lennart CARLESON (Suède)
2007 : Srinivasa S.R. VARADHAN (Inde)
2008 : Jacques TITS (France) et John GRIGGS THOMPSON (États-Unis)

Par ROMET
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Mardi 18 septembre 2007

Les deux plus grands nombres premiers jumeaux

Le projet Twin Prime Search (programme de recherche des nombres premiers jumeaux) a annoncé le 15 janvier 2007 la découverte des deux plus grands nombres premiers jumeaux connus à ce jour. Cocorico ! Ce nouveau record est dû entre autres au français Eric Vautier.

Nombres premiers

2 ; 3 ; 5 ; 7 ; 11 ; 13 ; 17 ; 19 ; 23 ; 29 ; 31 sont les premiers nombres premiers.

Les nombres premiers sont les nombres entiers qui ne sont divisibles que par 1 et par eux-mêmes.

Nombres premiers jumeaux

Deux nombres premiers sont jumeaux si leur différence est égale à 2.

Voici quelques paires de nombres premiers jumeaux :

(3 ; 5) ; (5 ; 7) ; (11 ; 13) ; (17 ; 19) ; (29 ; 31).

Découverte de la paire des deux plus grands nombres premiers jumeaux

(2 003 663 613 × 2^{195 000} – 1 ; 2 003 663 613 × 2^{195 000} + 1) et ces deux nombres admettent chacun 58 711 chiffres !

La paire de nombres premiers jumeaux découverte ce 15 janvier 2007 par le projet Twin Prime Search s'écrit :

Naturellement, la question est désormais de savoir si ce record peut être battu. Or, bien que les mathématiciens s'accordent à penser depuis environ un siècle qu'il existe une infinité de nombres premiers jumeaux, personne n'est parvenu à ce jour à démontrer cette conjecture malgré de nombreuses tentatives.

Un projet collaboratif exemplaire

L'intérêt de ce nouveau record reste très mathématique et relève pour une large part de l'anecdote. Comme toute découverte nouvelle, il aura peut-être des conséquences importantes plus tard.

Cependant, il met en exergue le formidable succès du calcul distribué. Le principe en est simple : plutôt que de construire des supercalculateurs (ordinateurs super puissants) trop onéreux, il suffit de tirer profit des ressources d'un maximum d'ordinateurs connectés à Internet.

Par suite, chacun peut donc contribuer à la recherche scientifique, simplement en offrant une part de la puissance de calcul de sa machine.

Les nombres premiers balisent la suite des entiers de manière très irrégulière.

Par ROMET
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Mardi 20 novembre 2007

Un très grand mathématicien : Jean-Pierre SERRE

Le Jury d'Oslo, lors de la remise de son prix Abel a dit : "Il a largement contribué au progrès des mathématiques durant plus d'un demi-siècle et a joué un rôle central dans l'élaboration de la forme moderne de nombreuses branches de cette discipline".

C'est le seul mathématicien à avoir à la fois la médaille Fields et le prix Abel...

Jean-Pierre Serre est un mathématicien français né le 15 septembre 1926 dans les Pyrénées-Orientales. Il est considéré comme étant l'un des plus grands mathématiciens du XX^e siècle.

Après avoir effectué sa thèse dans le domaine de la topologie algébrique sous la direction d'Henri Cartan, il a effectué des travaux fondamentaux en théorie des nombres et géométrie algébrique.

Quelques références :

Docteur es sciences au CNRS, puis au Collège de France

Membre du groupe Bourbaki

Médaille Fields en 1954, prix Balzan en 1985, médaille d'Or du CNRS en 1987, prix Steele en 1995, prix Wolf en 2000, prix Abel en 2003.

Membre de l'Académie des sciences.

Grand officier de l'ordre national du Mérite, commandeur de la Légion d'Honneur

Par ROMET
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