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Tout ce qui rime avec les mathématiques, les productions de Jean-Luc ROMET
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Dessins : Wilfried LEMIEUX ; conception graphique : Johann SOLON 

 

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Nombres en maths

1) Définition de π :

 

C'est le nombre par lequel il faut multiplier le diamètre du cercle pour obtenir sa circonférence. Autrement dit, c'est le rapport de la circonférence du cercle par son diamètre.

Le périmètre du cercle est  P = π x d  où d est le diamètre.

On a aussi  P = 2 x π x r  où r est le rayon du cercle.

 

 

2) Origine de la lettre π :

 

Ce rapport de la circonférence du cercle par son diamètre ne porta pas de nom pendant des siècles.

Ludolph von Ceulen (vers 1600), William Oughtred (en 1647), Isaac Barrow (en 1670) utilisent la lettre π pour désigner le périmètre d'un cercle de diamètre 1.

C'est l'anglais William Jones, en 1706, qui utilise la lettre π en premier pour représenter le rapport de la circonférence du cercle par son diamètre.

π est le première lettre du mot grec "periphereia" (circonférence) et de "perimetros" (périmètre).

Ce nom est adopté et vulgarisé par le suisse Leonhard Euler en 1748.

 

 

3) L'étude de π en tant que nombre :

 

C'est seulement au XVIIème siècle que ce rapport, pour lequel on donnait déjà des valeurs approchées, commence à être considéré comme un nombre.

En 1761, le suisse Lambert démontre que π est irrationnel, c'est à dire qu'on ne pourra jamais l'écrire sous la forme d'une fraction de deux nombres entiers.

En 1882, l'allemand Ferdinand von Lindemann démontre que π est transcendant, c'est à dire qu'il n'est solution d'aucune équation algébrique avec des coefficients entiers. Il établit donc enfin l'impossibilité de la fameuse "quadrature du cercle" (problème qui se pose depuis l'Antiquité).

 

 

4) Les cent premières décimales de π :

 

 π ≈ 3,

14159

26535

89793

23846

26433

83279

50288

41971

69399

37510

 

58209

74944

59230

78164

06286

20899

86280

34825

34211

70679

 

(de 1600 à aujourd'hui)

 

 

Divers appareils furent inventés pour calculer facilement :

 

- Des réglettes multiplicatrices (règle à calcul) sont créées par l’écossais Néper en 1617.

- Une première machine à additionner fut mise au point par le français Pascal en 1642.

- La première machine à multiplier par addition répétée fut inventée par l’allemand Leibniz en 1672.

- Une machine beaucoup plus perfectionnée et pratique, l’arithmomètre, fut construite par Charles Thomas de Colmar en 1820.

- L’anglais Babbage (1792 – 1871) construisit en 1822 une machine à additionner, puis dix ans plus tard une machine à différences et enfin imagina une machine pour effectuer les 4 opérations et une machine analytique, proche du concept de nos ordinateurs.

- On créa les machines à touches vers 1870.

 

Calculatrice mécanique

- Diverses machines furent ensuite inventées, utilisant d’abord l’électricité puis l’électronique.

- Le premier ordinateur, suite à certains travaux réalisés par l'anglais Turing mais surtout grâce aux recherches réalisées par l'américain Von Neumann, fut terminé en 1945.

- La première calculatrice électronique fut créée en 1967 par Texas Instrument.

 

Calculatrice électronique

(de 1500 à 1650)

 

 

Etudions l’évolution de nos signes opératoires :

 

- Les symboles "+" et "-" sont employés par l’allemand Widman vers 1490, mais sont généralisés par l’allemand Stifel vers 1555. Avant, l'addition et la soustraction furent notées "plus" et "minus", puis "p." et "m."

 

- Les parenthèses "("  et  ")" ont été utilisées dans les calculs algébriques par l’italien Bombelli vers 1550.

 

- Le symbole "=" est proposé par l’anglais Recorde vers 1555. Auparavant, l'égalité fut notée "aeq." et même "∞".

 

- Le symbole ":" apparaît en 1633 alors que le symbole "÷" est écrit pour la première fois en 1659.

 

- Le symbole "x" est introduit par l’anglais Oughtred vers 1630. On a utilisé avant l'écriture "in".

 

- Le symbole " " est utilisé par l'allemand Christophe Rudolff en 1525.

(du moyen âge jusqu'à aujourd'hui)

 

On abandonna le calcul digital dès les premières apparitions du calcul écrit.

 

Fin calcul digital   Bosse des maths

 

 

Les additions et soustractions se firent aisément avec des nombres entiers.

  Addition et soustraction

 

 

Les multiplications se font grâce à des duplications ou des multiplications par 10.

 

423 x 47 = 423 x 40 + 423 x 7

avec 423 x 40 =((423 x 2) x 2) x 10    et    423 x 7 = 423 x 1 + 423 x 2 + (423 x 2) x 2

 

 

Au Moyen-Age, on reprit les techniques de calcul importées d’Inde...

 

  Techniques d'Inde

 

 

C’est l'Italien Fibonacci (Léonard de Pise) vers 1220 qui donna la forme la plus proche de la nôtre aux multiplications.

 

 

Tour de Pise

 

 

En 1580, un ingénieur flamand Simon Stevin, dans un livre appelé La Disme, donne une très bonne façon de noter les nombres décimaux et explique comment effectuer de façon très simple et très pratique les opérations arithmétiques :

 

 

Pour l'addition, la disposition fut assez rapidement celle que l'on connaît.

 

La soustraction mit beaucoup plus de temps à avoir la disposition actuelle puisque jusqu'au XVIIIème siècle, on opérait de bas en haut et on barrait les chiffres au fur et à mesure qu'ils avaient été utilisés pour le calcul.

 

Pour la multiplication, plusieurs procédés avaient déjà été inventés, tels le ‘‘calcul per Gélosia’’. Le principe du procédé "per Gélosia" (rappelant les fenêtres "à jalousies" des demeures italiennes) serait apparu vers 1400 chez le mathématicien  arabe Al-Kashi et se serait propagé en Orient et en Occident.

  Calcul per Gelosia

 

La multiplication connut dans La Disme une disposition proche de celle que nous connaissons aujourd'hui. C'était une amélioration de celle utilisée en Italie, comme nous l'avons vu avec Fibonacci, notamment par des commerçants, qui l'avaient apprise des Turcs et des Libanais, qui eux-mêmes s'étaient basés sur les pratiques des Arabes et des Indiens.

 

 

La division fut divulguée beaucoup plus tard  (et difficilement). La division se fit d'abord par soustractions successives et ne prit sa forme définitive que lors des derniers siècles.

 

Division

 

 

Vers 1610, l'écossais John Néper découvre les logarithmes et en livre une table. Les logarithmes permettent de remplacer les multiplications par des additions et les divisions par des soustractions, ce qui simplifie beaucoup de calculs.

(de la préhistoire au moyen âge)

 

 

Calculer vient du mot : ‘‘calculi’’ (caillou en latin).

 

Calcul avec cailloux

 

Le calcul digital fut le plus utilisé par les peuples anciens.

 

Calcul digital

 

Il y a seulement quelques siècles, compter sur ses doigts était le seul bagage de l’homme moyen. On confiait les multiplications et divisions quelques calculateurs professionnels.

En effet, on trouvait dans les villes, à côté des écrivains publics, des calculateurs publics que les gens vénéraient comme de véritables sorciers : ils arrivaient même à faire des multiplications !.

On pouvait même leur amener des divisions, mais là, il leur fallait plusieurs jours de travail.

 

Calculateurs publics

 

Les Babyloniens, les Grecs, les Romains et les Européens jusqu’au Moyen-Age et même plus tard utilisaient les abaques, sortes de cadres où on plaçait des jetons pour caractériser les nombres. Les Chinois se sont servis du boulier, où l’on glissait des boules. Il fut ensuite utilisé en Europe.

 

Abaque et boulier

 

Il y eut une querelle importante entre les ‘‘abacistes’’ (ceux qui voulaient utiliser les abaques) et les ‘‘algoristes’’ (ceux qui commençaient à utiliser le calcul écrit avec les chiffres ‘‘indo-arabes’’)

 

Gravure sur bois

gravure sur bois (1503)

Numération actuelle (évolution) : 

      (entre 500 et aujourd’hui)

 

Les écritures des chiffres ont sans cesse évolué, celles qui sont proposées sont prises à un instant précis et ne donnent qu’une idée partielle de la façon dont les chiffres se sont petit à petit construits à force de recopiage. Ce n’est qu’à partir de 1450, date de l’invention de l’imprimerie, qu’ils commenceront à prendre leur forme moderne.

 

chiffres indiens (vers le Xème siècle)

Chiffres indiens

 

 

 

 

 

chiffres arabes (vers le XIIIème siècle)

 

Chiffres arabes

 

 

 

 

chiffres gothiques (XIVème siècle)

 

Chiffres gothiques

 

 

chiffres modernes (après le XVème siècle)

 

Chiffres modernes

 

Chiffres modernes dactylographiés      

 

1   2  3  4  5  6  7  8  9  0

 

 

Ces fameux chiffres indiens ont été transmis en Arabie, puis en Europe :  on les appelle des chiffres ‘‘indo-arabes’’.

Numération romaine : 

      (entre 100 avant JC et 400 après JC)

 

Les Romains ont une numération additive, absolument inadaptée au calcul numérique. Nous l'utilisons encore de nos jours, par exemple pour écrire Louis XIV. Numération romaine

Au-delà de 5 000, les Romains utilisaient les mêmes symboles, en les recouvrant d'un trait horizontal.

Numération des Mayas : 

      (entre 300 avant JC et 300 après JC)

 

Les Mayas comptent en base vingt (système vigésimal ou vicésimal). Leur numération est positionnelle à écriture verticale.

 

Numération maya

Numération grecque : 

      (entre 700 avant JC et 400 après JC)

 

Les Grecs ont eu un premier système de numération très peu pratique, formé de cinq signes, qu'il fallait accoler ou mettre l'un dans l'autre.  Ensuite, ils adoptèrent un système additif, qui utilisait les lettres de l'alphabet.

  Numération grecque

 

Au delà de 1 000, les Grecs avaient d'autres symboles comme le A ou le M conjugués avec une apostrophe et des lettres grecques.

Numération chinoise : 

      (entre 1300 avant JC et 1300 après JC)

 

Dès l’origine, les nombres s’expriment dans un système de position avec un symbole pour chaque chiffre de 1 à 10. Il y a aussi des symboles pour 100 et 1000. Vers 250 après JC, les Chinois ont aussi utilisé un système de numération avec des traits horizontaux et verticaux.

 

Numération chinoise

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