Overblog Suivre ce blog
Administration Créer mon blog

MATHS-ROMETUS

http://www.maths-rometus.org/

Webmaster : Raynald ROSE

 

Rometus Portrait

Rechercher

Rometus Champion

  Articles de maths 

 

Maths en magie 

 Rometus en magie

 

 

Maths en figures

 

 

 Rometus et Figures

 

dessins : Wilfried LEMIEUX

Rometus et histoire

  Histoire des maths 

 

 

Utilité des maths Rometus et utilité 

 

dessins : Wilfried LEMIEUX

31 janvier 2016 7 31 /01 /janvier /2016 09:19

1) Certaines approximations de π :

 

Depuis l'Antiquité jusqu'à aujourd'hui, on essaie de donner une approximation du nombre π.

 

Voici un tableau donnant une idée de l'évolution de ces approximations :

 

Nom du mathématicien

ou de la civilisation

Valeur de π

Nombre de

décimales

exactes

Date du

calcul

Babylone

3 + 1/8 ≈ 3,125

1

- 1900

Egypte

(4/3)43,160

1

- 1600

Chine

3

0

- 1200

Bible

3

0

- 550

Archimède (grec)

3,14185

3

-250

Hon Han Chu (chinois)

√10 ≈ 3,16

1

130

Ptolémée (grec)

377/120 ≈ 3,1416

3

150

Wang Fau (chinois)

142/45 ≈ 3,15

1

250

Liu Hui (chinois)

3,14159

5

260

Tsu Chung Chih (chinois)

355/113 ≈ 3,141592

6

480

Aryabhata (indien)

3,14156

4

500

Brahmagupta (indien)

√10 ≈ 3,16

1

640

Al Khwarizmi (arabe)

22/7 ≈ 3,1428 ; 3,1416

3

800

Fibonacci (italien)

864/275 ≈ 3,1418

3

1220

Al Kashi (arabe)

 

16

1430

Von Lauchen (allemand)

3,14159265

8

1550

Viète (français)

3,1415926536

9

1593

Romanus (hollandais)

 

15

1593

Van Ceulen (hollandais)

 

34

1609

Grienberger

 

39

1630

Sharp

 

71

1699

Machin (anglais)

 

100

1706

Dase (anglais)

 

200

1844

Shanks (anglais)

 

528

1873

Wrench et Fergusson

 

808

1948

Reitwiestner (Etats-Unis)

 

2037

1949

Genuys

 

10 000

1958

Wrench et Shanks

 

100 265

1961

Guilloud et Bouyer

 

1 001 250

1973

Kanada et Tamura

 

1 073 741 799

1994

Kanada et Takahashi

 

50 milliards

1997

Equipe de Kanada (Japon)

 

1241 milliards

2002

 

On peut se demander quel est l'utilité d'une telle recherche des décimales du nombre π. Il y a des intérêts immédiats qui sont la recherche de nouveaux outils mathématiques, la mise au point d'algorithmes rapides et un très bon test pour juger de la puissance des ordinateurs. Mais, il y a sans doute l'envie même de la recherche de l'infini…

 

 

2) Exemples de méthodes pour trouver une valeur de π :

 

Le grec Archimède, en 250 avant JC, est le premier à donner une façon de calculer π. Il a écrit un traité sur la mesure du cercle où il calcule le rapport de la circonférence sur le diamètre.

Pour cela, il encadre un cercle par deux polygones réguliers, un qui sera inscrit dans le cercle et un autre qui sera exinscrit. Il calcule alors le périmètre de ces deux polygones réguliers et en fait la moyenne. Plus les polygones réguliers ont de côtés, plus la précision est grande.

Archimède utilisera des polygones de 96 côtés, il trouvera les 3 premières décimales exactes de π.

Jusqu'en 1600, on continue à utiliser la méthode d'Archimède mais avec un nombre impressionnant de côtés, plus d'un million pour le hollandais Van Ceulen en 1609.

 

Ensuite, on essaie de trouver des suites de nombres qui s'approchent du nombre π. Euler, Gauss, Machin, Newton et Viète ont cherché de telles suites.

L'une des plus célèbres est celle de l'allemand Leibniz, découverte vers 1680 :

π/4 = 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9 - 1/11 + 1/13 - 1/15.....

 

Il devient ainsi plus facile de calculer le nombre π.

 

A présent, on utilise le principe des suites, mais on bénéficie de l'aide de l'ordinateur et de sa formidable puissance de calcul.

 

 

3) Quelques curiosités à propos de π :

 

1/ Pour retenir les premières décimales de π, on peut apprendre par cœur quelques lignes d'un poème et compter le nombre de lettres de chaque mot :

   

Que

j'

aime

à

faire

apprendre

un

nombre

utile

3,

1

4

1

5

9

2

6

5

 

aux

sages,

glorieux

Archimède,

artiste

ingénieux,

3

5

8

9

7

9

 

toi

de

qui

Syracuse

aime

encore

la

gloire.

3

2

3

8

4

6

2

6

 

Soit

ton

nom

conservé

par

de

savants

grimoires.

4

3

3

8

3

2

7

9

 

 

2/ π = PI, ses lettres sont un peu magiques :

 

P ou π est la 16ème lettre de l'alphabet.

16 = 4².

I est la 9ème lettre de l'alphabet.

9 = 3².

La somme de 16 et 9 est 25.

25 = 5².

Le produit de 16 et 25 est 144.

144 = 12².

Le quotient : 9/16 = 0,5625.

0,5625 = 0,75².

 

3/ Le quotient 355 / 113, découvert par un chinois vers 480 après JC, qui donne 6 décimales exactes est aussi un peu magique.

 

355/113 a des chiffres dont la somme est 6. 

3 + 3 = 6   ;   5 + 1 = 6   ;   5 + 1 = 6.

 

4/ Les mystiques se sont toujours demandé si π n'était pas un nombre divin.

 

 

4) Le nombre π et la vie quotidienne :

 

Le nombre π est celui que l'on rencontre le plus souvent dans la vie quotidienne et dans la nature puisque tout ce qui a une forme circulaire exige un calcul utilisant ce nombre que ce soit une longueur, une aire ou un volume.

Or, les planètes, les plantes, les animaux, les atomes ainsi que les constructions de l'homme ont besoin de modèles qui utilisent un moment le cercle ou l'arc de cercle et nécessitent l'usage du nombre π.

Repost 0
Published by Jean-Luc ROMET - dans Nombres en maths
commenter cet article
3 octobre 2014 5 03 /10 /octobre /2014 10:07

1) Définition de π :

 

C'est le nombre par lequel il faut multiplier le diamètre du cercle pour obtenir sa circonférence. Autrement dit, c'est le rapport de la circonférence du cercle par son diamètre.

Le périmètre du cercle est  P = π x d  où d est le diamètre.

On a aussi  P = 2 x π x r  où r est le rayon du cercle.

 

 

2) Origine de la lettre π :

 

Ce rapport de la circonférence du cercle par son diamètre ne porta pas de nom pendant des siècles.

Ludolph von Ceulen (vers 1600), William Oughtred (en 1647), Isaac Barrow (en 1670) utilisent la lettre π pour désigner le périmètre d'un cercle de diamètre 1.

C'est l'anglais William Jones, en 1706, qui utilise la lettre π en premier pour représenter le rapport de la circonférence du cercle par son diamètre.

π est le première lettre du mot grec "periphereia" (circonférence) et de "perimetros" (périmètre).

Ce nom est adopté et vulgarisé par le suisse Leonhard Euler en 1748.

 

 

3) L'étude de π en tant que nombre :

 

C'est seulement au XVIIème siècle que ce rapport, pour lequel on donnait déjà des valeurs approchées, commence à être considéré comme un nombre.

En 1761, le suisse Lambert démontre que π est irrationnel, c'est à dire qu'on ne pourra jamais l'écrire sous la forme d'une fraction de deux nombres entiers.

En 1882, l'allemand Ferdinand von Lindemann démontre que π est transcendant, c'est à dire qu'il n'est solution d'aucune équation algébrique avec des coefficients entiers. Il établit donc enfin l'impossibilité de la fameuse "quadrature du cercle" (problème qui se pose depuis l'Antiquité).

 

 

4) Les cent premières décimales de π :

 

 π ≈ 3,

14159

26535

89793

23846

26433

83279

50288

41971

69399

37510

 

58209

74944

59230

78164

06286

20899

86280

34825

34211

70679

 

Repost 0
Published by Jean-Luc ROMET - dans Nombres en maths
commenter cet article
1 février 2014 6 01 /02 /février /2014 10:38

(de 1600 à aujourd'hui)

 

 

Divers appareils furent inventés pour calculer facilement :

 

- Des réglettes multiplicatrices (règle à calcul) sont créées par l’écossais Néper en 1617.

- Une première machine à additionner fut mise au point par le français Pascal en 1642.

- La première machine à multiplier par addition répétée fut inventée par l’allemand Leibniz en 1672.

- Une machine beaucoup plus perfectionnée et pratique, l’arithmomètre, fut construite par Charles Thomas de Colmar en 1820.

- L’anglais Babbage (1792 – 1871) construisit en 1822 une machine à additionner, puis dix ans plus tard une machine à différences et enfin imagina une machine pour effectuer les 4 opérations et une machine analytique, proche du concept de nos ordinateurs.

- On créa les machines à touches vers 1870.

 

Calculatrice mécanique

- Diverses machines furent ensuite inventées, utilisant d’abord l’électricité puis l’électronique.

- Le premier ordinateur, suite à certains travaux réalisés par l'anglais Turing mais surtout grâce aux recherches réalisées par l'américain Von Neumann, fut terminé en 1945.

- La première calculatrice électronique fut créée en 1967 par Texas Instrument.

 

Calculatrice électronique

Repost 0
Published by Jean-Luc ROMET - dans Nombres en maths
commenter cet article
6 août 2013 2 06 /08 /août /2013 08:00

(de 1500 à 1650)

 

 

Etudions l’évolution de nos signes opératoires :

 

- Les symboles "+" et "-" sont employés par l’allemand Widman vers 1490, mais sont généralisés par l’allemand Stifel vers 1555. Avant, l'addition et la soustraction furent notées "plus" et "minus", puis "p." et "m."

 

- Les parenthèses "("  et  ")" ont été utilisées dans les calculs algébriques par l’italien Bombelli vers 1550.

 

- Le symbole "=" est proposé par l’anglais Recorde vers 1555. Auparavant, l'égalité fut notée "aeq." et même "∞".

 

- Le symbole ":" apparaît en 1633 alors que le symbole "÷" est écrit pour la première fois en 1659.

 

- Le symbole "x" est introduit par l’anglais Oughtred vers 1630. On a utilisé avant l'écriture "in".

 

- Le symbole " " est utilisé par l'allemand Christophe Rudolff en 1525.

Repost 0
Published by Jean-Luc ROMET - dans Nombres en maths
commenter cet article
16 mars 2013 6 16 /03 /mars /2013 05:03

(du moyen âge jusqu'à aujourd'hui)

 

On abandonna le calcul digital dès les premières apparitions du calcul écrit.

 

Fin calcul digital  Bosse des maths

 

 

Les additions et soustractions se firent aisément avec des nombres entiers.

  Addition et soustraction

 

 

Les multiplications se font grâce à des duplications ou des multiplications par 10.

 

423 x 47 = 423 x 40 + 423 x 7

avec 423 x 40 =((423 x 2) x 2) x 10    et    423 x 7 = 423 x 1 + 423 x 2 + (423 x 2) x 2

 

 

Au Moyen-Age, on reprit les techniques de calcul importées d’Inde...

 

  Techniques d'Inde

 

 

C’est l'Italien Fibonacci (Léonard de Pise) vers 1220 qui donna la forme la plus proche de la nôtre aux multiplications.

 

 

Tour de Pise

 

 

En 1580, un ingénieur flamand Simon Stevin, dans un livre appelé La Disme, donne une très bonne façon de noter les nombres décimaux et explique comment effectuer de façon très simple et très pratique les opérations arithmétiques :

 

 

Pour l'addition, la disposition fut assez rapidement celle que l'on connaît.

 

La soustraction mit beaucoup plus de temps à avoir la disposition actuelle puisque jusqu'au XVIIIème siècle, on opérait de bas en haut et on barrait les chiffres au fur et à mesure qu'ils avaient été utilisés pour le calcul.

 

Pour la multiplication, plusieurs procédés avaient déjà été inventés, tels le ‘‘calcul per Gélosia’’. Le principe du procédé "per Gélosia" (rappelant les fenêtres "à jalousies" des demeures italiennes) serait apparu vers 1400 chez le mathématicien  arabe Al-Kashi et se serait propagé en Orient et en Occident.

  Calcul per Gelosia

 

La multiplication connut dans La Disme une disposition proche de celle que nous connaissons aujourd'hui. C'était une amélioration de celle utilisée en Italie, comme nous l'avons vu avec Fibonacci, notamment par des commerçants, qui l'avaient apprise des Turcs et des Libanais, qui eux-mêmes s'étaient basés sur les pratiques des Arabes et des Indiens.

 

 

La division fut divulguée beaucoup plus tard  (et difficilement). La division se fit d'abord par soustractions successives et ne prit sa forme définitive que lors des derniers siècles.

 

Division

 

 

Vers 1610, l'écossais John Néper découvre les logarithmes et en livre une table. Les logarithmes permettent de remplacer les multiplications par des additions et les divisions par des soustractions, ce qui simplifie beaucoup de calculs.

Repost 0
Published by Jean-Luc ROMET - dans Nombres en maths
commenter cet article
21 septembre 2012 5 21 /09 /septembre /2012 06:42

(de la préhistoire au moyen âge)

 

 

Calculer vient du mot : ‘‘calculi’’ (caillou en latin).

 

Calcul avec cailloux

 

Le calcul digital fut le plus utilisé par les peuples anciens.

 

Calcul digital

 

Il y a seulement quelques siècles, compter sur ses doigts était le seul bagage de l’homme moyen. On confiait les multiplications et divisions quelques calculateurs professionnels.

En effet, on trouvait dans les villes, à côté des écrivains publics, des calculateurs publics que les gens vénéraient comme de véritables sorciers : ils arrivaient même à faire des multiplications !.

On pouvait même leur amener des divisions, mais là, il leur fallait plusieurs jours de travail.

 

Calculateurs publics

 

Les Babyloniens, les Grecs, les Romains et les Européens jusqu’au Moyen-Age et même plus tard utilisaient les abaques, sortes de cadres où on plaçait des jetons pour caractériser les nombres. Les Chinois se sont servis du boulier, où l’on glissait des boules. Il fut ensuite utilisé en Europe.

 

Abaque et boulier

 

Il y eut une querelle importante entre les ‘‘abacistes’’ (ceux qui voulaient utiliser les abaques) et les ‘‘algoristes’’ (ceux qui commençaient à utiliser le calcul écrit avec les chiffres ‘‘indo-arabes’’)

 

Gravure sur bois

gravure sur bois (1503)

Repost 0
Published by Jean-Luc ROMET - dans Nombres en maths
commenter cet article
22 juin 2012 5 22 /06 /juin /2012 06:00

Numération actuelle (évolution) : 

      (entre 500 et aujourd’hui)

 

Les écritures des chiffres ont sans cesse évolué, celles qui sont proposées sont prises à un instant précis et ne donnent qu’une idée partielle de la façon dont les chiffres se sont petit à petit construits à force de recopiage. Ce n’est qu’à partir de 1450, date de l’invention de l’imprimerie, qu’ils commenceront à prendre leur forme moderne.

 

chiffres indiens (vers le Xème siècle)

Chiffres indiens

 

 

 

 

 

chiffres arabes (vers le XIIIème siècle)

 

Chiffres arabes

 

 

 

 

chiffres gothiques (XIVème siècle)

 

Chiffres gothiques

 

 

chiffres modernes (après le XVème siècle)

 

Chiffres modernes

 

Chiffres modernes dactylographiés      

 

1   2  3  4  5  6  7  8  9  0

 

 

Ces fameux chiffres indiens ont été transmis en Arabie, puis en Europe :  on les appelle des chiffres ‘‘indo-arabes’’.

Repost 0
Published by Jean-Luc ROMET - dans Nombres en maths
commenter cet article
19 février 2012 7 19 /02 /février /2012 09:17

Numération romaine : 

      (entre 100 avant JC et 400 après JC)

 

Les Romains ont une numération additive, absolument inadaptée au calcul numérique. Nous l'utilisons encore de nos jours, par exemple pour écrire Louis XIV. Numération romaine

Au-delà de 5 000, les Romains utilisaient les mêmes symboles, en les recouvrant d'un trait horizontal.

Repost 0
Published by Jean-Luc ROMET - dans Nombres en maths
commenter cet article
23 décembre 2011 5 23 /12 /décembre /2011 12:16

Numération des Mayas : 

      (entre 300 avant JC et 300 après JC)

 

Les Mayas comptent en base vingt (système vigésimal ou vicésimal). Leur numération est positionnelle à écriture verticale.

 

Numération maya

Repost 0
Published by Jean-Luc ROMET - dans Nombres en maths
commenter cet article
29 octobre 2011 6 29 /10 /octobre /2011 17:14

Numération grecque : 

      (entre 700 avant JC et 400 après JC)

 

Les Grecs ont eu un premier système de numération très peu pratique, formé de cinq signes, qu'il fallait accoler ou mettre l'un dans l'autre.  Ensuite, ils adoptèrent un système additif, qui utilisait les lettres de l'alphabet.

 Numération grecque

 

Au delà de 1 000, les Grecs avaient d'autres symboles comme le A ou le M conjugués avec une apostrophe et des lettres grecques.

Repost 0
Published by Jean-Luc ROMET - dans Nombres en maths
commenter cet article

Articles Récents

Rometus toujours

 

  Maths et littérature Rometus et Littérature

 

Maths en jeux Rometus en Jeux

 

dessins : Wilfried LEMIEUX

 

 Rometus 3  rometus-page-1-site.jpg Rometus 6 
 Rometus 1  Rometus Maths et articles  Rometus 4

 

Vous êtes sur le blog du professeur ROMETUS, alias Jean-Luc ROMET

Tout ce qui rime avec les mathématiques, les productions de Jean-Luc ROMET
et les rubriques du site MATHS-ROMETUS
 

 

Dessins : Wilfried LEMIEUX ; conception graphique : Johann SOLON 

 

Pour être informé gratuitement de la mise en ligne d'un nouvel article
inscrivez-vous à la Newsletter (à gauche)...
N'hésitez pas à laisser des commentaires sur les articles.

 

Pour lire les articles, cliquez dans les catégories proposées (à gauche) : 

Articles sur les mathématiques ; Blagues sur les maths ; Maths en timbres ;
Maths en figures ; Maths en magie ; Utilité des maths ; Maths autour de nous ;
Nombres en maths ; Maths et littérature ; Maths en jeux ; Histoire des maths ;
Maths en dico ; Catégories du blog ; Publications du Professeur ROMETUS ;
Rubriques du site MATHS-ROMETUS ; Projets en cours... 

Rometus et blagues

Blagues de maths 

    

 

 

 

Maths autour de nous

 

 Rometus autour de nous

 

 Maths en timbres 

  Rometus et timbres 

dessins : Wilfried LEMIEUX

Rometus en folie

  Nombres en maths 

 

Rometus en Nombres

  Maths en dico Rometus et Dico

 

dessins : Wilfried LEMIEUX