1) Le nombre d'or et la géométrie :

Le pentagone régulier peut être construit grâce au nombre d'or.

Le pentagone régulier étoilé a d'ailleurs eu un rôle important dans la "secte" des Pythagoriciens, vers 460 avant JC, puisque c'était leur emblème.

Un rectangle d'or est tel que son rapport longueur / largeur soit égal à φ. Si on retire à ce rectangle un carré de côté sa largeur, il conserve ses proportions avec le rectangle qui reste.

2) Le nombre d'or et le règne végétal ou animal :

De nombreuses fleurs ont cinq pétales régulièrement répartis, leur liaison avec le nombre d'or est évidente.

La majorité des plantes ont un nombre de pétales de 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55 ou 89 : ce sont les premiers termes de la suite de Fibonacci. Une pâquerette ou un tournesol ont des pétales positionnés en spirales suivant ces termes qui conduisent vers ce nombre d'or.

Les écailles de pomme de pin ou d'ananas présentent la même particularité.

Pour le domaine animal, on peut citer l'étoile de mer ou l'oursin dont les structures sont liées au pentagone régulier étoilé.

3) Le nombre d'or et le corps humain :

Pour le corps et le visage de l'homme, on avait remarqué dès l'Antiquité que :

le nombril divise le corps suivant le nombre d'or (hauteur totale du corps humain divisé par la hauteur de la tête au nombril).

Ceci n'est pas tout à fait exact, mais on retrouve le nombre φ dans des rapports entre la longueur d'un doigt et la longueur de certaines phalanges.

4) Le nombre d'or et l'architecture :

La Pyramide de Kheops, construite vers 2550 avant JC, semble avoir été bâtie avec des proportions utilisant le nombre d'or.

La beauté du théâtre d'Epidaure (fin du VI^ème siècle avant JC) est due aussi en partie au nombre d'or. Les gradins sont divisés en deux parties, la première comporte 34 rangées et la seconde 21 qui sont des nombres de la suite de Fibonacci.

La façade du célèbre Parthénon, à Athènes (V^ème siècle avant JC) s'inscrit dans un rectangle d'or et son harmonie est due à l'architecte et sculpteur Phidias, dont la première lettre grecque est φ.

Au XII^ème siècle, le mouvement architectural gothique est inspiré par la ferveur religieuse et de nombreuses constructions, notamment l'architecture cistercienne, veulent faire œuvre divine en utilisant le nombre d'or. La plupart des églises Romanes ont été conçues avec la "proportion divine". Le portail royal de la cathédrale de Chartres en est un bel exemple.

Au XX^ème siècle, l'architecte Le Corbusier a utilisé le nombre d'or dans ses réalisations.

5) Le nombre d'or et la peinture :

Les dimensions des tableaux sont souvent tels que le rapport longueur / largeur soit égal au nombre d'or.

De nombreux peintres tels Nicolas Poussin, Titien, Michel-Ange, Léonard de Vinci ou Raphaël ont utilisé le nombre φ dans leurs œuvres.

La "Joconde" de Léonard de Vinci est peinte selon des proportions basées sur φ.

Salvador Dali a utilisé le rectangle d'or pour certaines de ses toiles.

6) Le nombre d'or et la musique :

Les Pythagoriciens, vers 460 avant JC, avaient déjà fait des recherches sur les intervalles sonores.

Il existe certains rapprochements entre le nombre φ et une des gammes les plus célèbres.

La forme du violon a des proportions esthétiques très liées au nombre d'or. Les luthiers étaient alors préoccupés par la beauté des proportions.

1) Certaines approximations de π :

Depuis l'Antiquité jusqu'à aujourd'hui, on essaie de donner une approximation du nombre π.

Voici un tableau donnant une idée de l'évolution de ces approximations :

On peut se demander quel est l'utilité d'une telle recherche des décimales du nombre π. Il y a des intérêts immédiats qui sont la recherche de nouveaux outils mathématiques, la mise au point d'algorithmes rapides et un très bon test pour juger de la puissance des ordinateurs. Mais, il y a sans doute l'envie même de la recherche de l'infini…

2) Exemples de méthodes pour trouver une valeur de π :

Le grec Archimède, en 250 avant JC, est le premier à donner une façon de calculer π. Il a écrit un traité sur la mesure du cercle où il calcule le rapport de la circonférence sur le diamètre.

Pour cela, il encadre un cercle par deux polygones réguliers, un qui sera inscrit dans le cercle et un autre qui sera exinscrit. Il calcule alors le périmètre de ces deux polygones réguliers et en fait la moyenne. Plus les polygones réguliers ont de côtés, plus la précision est grande.

Archimède utilisera des polygones de 96 côtés, il trouvera les 3 premières décimales exactes de π.

Jusqu'en 1600, on continue à utiliser la méthode d'Archimède mais avec un nombre impressionnant de côtés, plus d'un million pour le hollandais Van Ceulen en 1609.

Ensuite, on essaie de trouver des suites de nombres qui s'approchent du nombre π. Euler, Gauss, Machin, Newton et Viète ont cherché de telles suites.

L'une des plus célèbres est celle de l'allemand Leibniz, découverte vers 1680 :

π/4 = 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9 - 1/11 + 1/13 - 1/15.....

Il devient ainsi plus facile de calculer le nombre π.

A présent, on utilise le principe des suites, mais on bénéficie de l'aide de l'ordinateur et de sa formidable puissance de calcul.

3) Quelques curiosités à propos de π :

1/ Pour retenir les premières décimales de π, on peut apprendre par cœur quelques lignes d'un poème et compter le nombre de lettres de chaque mot :

2/ π = PI, ses lettres sont un peu magiques :

3/ Le quotient 355 / 113, découvert par un chinois vers 480 après JC, qui donne 6 décimales exactes est aussi un peu magique.

355/113 a des chiffres dont la somme est 6. 

3 + 3 = 6   ;   5 + 1 = 6   ;   5 + 1 = 6.

4/ Les mystiques se sont toujours demandé si π n'était pas un nombre divin.

4) Le nombre π et la vie quotidienne :

Le nombre π est celui que l'on rencontre le plus souvent dans la vie quotidienne et dans la nature puisque tout ce qui a une forme circulaire exige un calcul utilisant ce nombre que ce soit une longueur, une aire ou un volume.

Or, les planètes, les plantes, les animaux, les atomes ainsi que les constructions de l'homme ont besoin de modèles qui utilisent un moment le cercle ou l'arc de cercle et nécessitent l'usage du nombre π.

(de 1600 à aujourd'hui)

Divers appareils furent inventés pour calculer facilement :

- Des réglettes multiplicatrices (règle à calcul) sont créées par l’écossais Néper en 1617.

- Une première machine à additionner fut mise au point par le français Pascal en 1642.

- La première machine à multiplier par addition répétée fut inventée par l’allemand Leibniz en 1672.

- Une machine beaucoup plus perfectionnée et pratique, l’arithmomètre, fut construite par Charles Thomas de Colmar en 1820.

- L’anglais Babbage (1792 – 1871) construisit en 1822 une machine à additionner, puis dix ans plus tard une machine à différences et enfin imagina une machine pour effectuer les 4 opérations et une machine analytique, proche du concept de nos ordinateurs.

- On créa les machines à touches vers 1870.

- Diverses machines furent ensuite inventées, utilisant d’abord l’électricité puis l’électronique.

- Le premier ordinateur, suite à certains travaux réalisés par l'anglais Turing mais surtout grâce aux recherches réalisées par l'américain Von Neumann, fut terminé en 1945.

- La première calculatrice électronique fut créée en 1967 par Texas Instrument.

(du moyen âge jusqu'à aujourd'hui)

On abandonna le calcul digital dès les premières apparitions du calcul écrit.

Les additions et soustractions se firent aisément avec des nombres entiers.

Les multiplications se font grâce à des duplications ou des multiplications par 10.

423 x 47 = 423 x 40 + 423 x 7

avec 423 x 40 =((423 x 2) x 2) x 10    et    423 x 7 = 423 x 1 + 423 x 2 + (423 x 2) x 2

Au Moyen-Age, on reprit les techniques de calcul importées d’Inde...

C’est l'Italien Fibonacci (Léonard de Pise) vers 1220 qui donna la forme la plus proche de la nôtre aux multiplications.

En 1580, un ingénieur flamand Simon Stevin, dans un livre appelé La Disme, donne une très bonne façon de noter les nombres décimaux et explique comment effectuer de façon très simple et très pratique les opérations arithmétiques :

Pour l'addition, la disposition fut assez rapidement celle que l'on connaît.

La soustraction mit beaucoup plus de temps à avoir la disposition actuelle puisque jusqu'au XVIII^ème siècle, on opérait de bas en haut et on barrait les chiffres au fur et à mesure qu'ils avaient été utilisés pour le calcul.

Pour la multiplication, plusieurs procédés avaient déjà été inventés, tels le ‘‘calcul per Gélosia’’. Le principe du procédé "per Gélosia" (rappelant les fenêtres "à jalousies" des demeures italiennes) serait apparu vers 1400 chez le mathématicien  arabe Al-Kashi et se serait propagé en Orient et en Occident.

La multiplication connut dans La Disme une disposition proche de celle que nous connaissons aujourd'hui. C'était une amélioration de celle utilisée en Italie, comme nous l'avons vu avec Fibonacci, notamment par des commerçants, qui l'avaient apprise des Turcs et des Libanais, qui eux-mêmes s'étaient basés sur les pratiques des Arabes et des Indiens.

La division fut divulguée beaucoup plus tard  (et difficilement). La division se fit d'abord par soustractions successives et ne prit sa forme définitive que lors des derniers siècles.

Vers 1610, l'écossais John Néper découvre les logarithmes et en livre une table. Les logarithmes permettent de remplacer les multiplications par des additions et les divisions par des soustractions, ce qui simplifie beaucoup de calculs.

Numération actuelle (évolution) : 

      (entre 500 et aujourd’hui)

Les écritures des chiffres ont sans cesse évolué, celles qui sont proposées sont prises à un instant précis et ne donnent qu’une idée partielle de la façon dont les chiffres se sont petit à petit construits à force de recopiage. Ce n’est qu’à partir de 1450, date de l’invention de l’imprimerie, qu’ils commenceront à prendre leur forme moderne.

chiffres indiens (vers le X^ème siècle)

chiffres arabes (vers le XIII^ème siècle)

chiffres gothiques (XIV^ème siècle)

chiffres modernes (après le XV^ème siècle)

Chiffres modernes dactylographiés      

1   2  3  4  5  6  7  8  9  0

Ces fameux chiffres indiens ont été transmis en Arabie, puis en Europe :  on les appelle des chiffres ‘‘indo-arabes’’.