Magie avec des nombres : Le calculateur prodige

1) Demandez à un spectateur :

- de choisir un nombre entier de deux chiffres dont le deuxième est 5.

Annoncez alors rapidement son carré !!!

2) Demandez à un spectateur :

- de choisir un nombre entier N inférieur à 20 ;

- de faire la somme des N premiers nombres.

Annoncez alors rapidement le résultat !!!

Solution :

1) Si le nombre de deux chiffres choisi est de la forme  a5, le carré de ce nombre est de la forme  a x (a + 1)25.

Les deux premiers chiffres du carré viendront du résultat de a x (a + 1), les deux derniers chiffres seront 2 et 5.

Exemple :  Si le premier nombre est 65, a est le chiffre 6,

on calcule a x (a + 1) = 6 x 7 = 42 et on écrit 25 derrière.

Le résultat est 4225.   Donc 65² = 4225.

L'explication est délicate :

Le nombre choisi est  a5 = 10a + 5.

(10a + 5)² = 100a² + 100a + 25 = 100a ( a + 1) + 25.

Le carré est donc de la forme  a x (a + 1)25.

2) Si le nombre choisi est N, vous calculez rapidement N(N + 1) : 2.

Il faut être assez rapide pour impressionner les spectateurs.

Exemple : pour le nombre 17, la somme des 17 premiers nombres est :

1 + 2 + 3 + ………. + 17 = 17 x 18 : 2 = 17 x  9 = 17 x 10 - 17 x 1 = 153.

L'explication est délicate :

La somme des N premiers nombres est donnée par la formule :

1 + 2 + 3 + ……………… + N = N x (N + 1) : 2.

Si on ajoute deux fois cette somme des N premiers nombres, on peut associer 1 avec N, 2 avec N – 1, 3 avec N – 2, …………………., N – 1 avec 2, N avec 1.

A chaque fois, on trouve N + 1.

On a donc N fois (N + 1), et ceci pour deux sommes.

La somme est donc égale à N x (N + 1) : 2.