Dictionnaire : de Repère à Rotation

Repère d’une droite :

          Un repère d’une droite est un couple de points de la droite, le premier étant affecté du nombre 0, le second du nombre 1.

          A partir de ce repère, on peut graduer une droite.

          (O , I ) est un repère de la droite d.

Repère orthogonal :

          Un repère orthogonal du plan est un triplet de trois points, le premier ayant les coordonnées (0 ; 0), le second les coordonnées (1 ; 0) et le troisième les coordonnées (0 ; 1). Les deux droites doivent être perpendiculaires. 

           (O , I , J) est un repère orthogonal du plan.

Repère orthonormal :

          Un repère orthonormal ou orthonormé est un repère orthogonal (O , I , J) tel que

          OI = OJ = 1.

          (O , I , J) est un repère orthonormal du plan.

Représentation graphique d’une fonction :

          Une représentation graphique d’une fonction est une droite ou plus généralement une courbe tracée dans un repère du plan et associée à cette fonction.

          La représentation graphique d’une fonction f est l’ensemble des points de coordonnées (x ; f(x)) lorsqu’on peut calculer f(x).

          Ici, la géométrie permet d’illustrer une expression algébrique.

          Exemple :  Représentons graphiquement la fonction f telle que f(x) = 2x + 1.

                            La fonction f est affine, donc elle est représentée graphiquement par une

                            droite d_f d’équation  y = 2x + 1.

                            Si x = 0 ;  y = 2 × 0 + 1 = 0 + 1 = 1 ;  f(x) = 1.

                            Si x = 1 ;  y = 2 × 1 + 1 = 2 + 1 = 3 ;  f(x) = 3.

                            Les points (0 ; 1)  et  (1 ; 3) appartiennent à la droite d_f .

Représentation graphique d’une série statistique :

          Une représentation graphique d’une série statistique est un dessin qui illustre une série statistique.

Reproduire :

          Reproduire exactement une figure plane, c’est construire une figure semblable en respectant ses dimensions.

          Reproduire une figure à une échelle e, c’est faire une figure réduite (si  0 < e < 1) ou agrandie (si  e > 1) en multipliant chacune des dimensions de la figure de départ par le nombre e.

Résolution :

          La résolution est l’action de résoudre une équation ou une inéquation.

Résoudre une équation à deux inconnues :

          Résoudre une équation à deux inconnues x et y, c’est déterminer les valeurs des couples
(x ; y) qui sont tels que l’égalité soit vraie.

          Les solutions de l’ équation y = ax + b sont les couples (x ; y) tels que y = ax + b.

          Exemple :  Le couple (1 ; 5) est solution de l’équation y = 2x + 3 car 5 = 2 × 1 + 3.

Résoudre une équation à une inconnue :

          Résoudre une équation à une inconnue x, c’est trouver, si elles existent, la ou les valeurs de l’inconnue x qui rendent vraie l’égalité.

          Exemple :  Résolvons  x – 3 = 7.

                                           x = 7 + 3

                                           x = 10

                            10 est solution de l’équation x – 3 = 7.

          L’équation x + a = b  admet une solution unique x = b – a. (a et b sont des nombres fixés)

          Exemple :  Résolvons  x + 3 = 1

                                           x = 1 – 3

                                           x = – 2

                            – 2 est solution de l’équation x + 3 = 1.

          L’équation ax = b admet une solution unique x = b : a.  (a et b sont des nombres fixés tels que
a ≠ 0)

          Exemple :  Résolvons  2 x = 6

                                           x = 6 : 2

                                           x = 3

                            3 est solution de l’équation 2 x = 6.

          L’équation  x² = a  (a > 0) admet deux solutions √a  et  – √a.

          L’équation  x² = a   (a < 0) n’admet pas de solution .

          L’équation  x² = 0   admet une solution  x = 0.

          Exemple :  Résolvons  x² = 5

                            √5  et  – √5   sont les solutions de l’équation x² = 5.

          L’équation-produit  (ax + b)(cx + d) = 0  (où a, b, c et d sont des nombres fixés tels que a ≠ 0  et  c ≠ 0) admet deux solutions qui sont – b : a  et  – d : c.

          Exemple :  Résolvons (2x – 1)(x + 2) = 0

                            Soit  2x – 1 = 0       Soit   x + 2 = 0

                                   2x = 1                      x = – 2

                                    x = 1 : 2

                                    x = 0,5

                            0,5  et  – 2  sont les solutions de l’équation (2x – 1)(x + 2) = 0.

Résoudre une inéquation à une inconnue :

          Résoudre une inéquation à une inconnue x, c’est déterminer, si elles existent, les valeurs du terme inconnu x qui rendent vraie l’inégalité.

          Exemple :  Résolvons  x – 1 ≤ 2

                                           x  ≤ 2 + 1

                                           x  ≤ 3

                            Les solutions de l’inéquation  x – 1 ≤ 2  sont représentés par :  

Résoudre un système de deux équations :

          Résoudre un système de deux équations du type  ax + by + c = 0  et  a'x + b'y + c' = 0  (où a, b, c, a’, b’ et c’ sont des nombres fixés), c’est trouver, s’ils existent, le ou les couples (x ; y) qui rendent vraies simultanément les deux égalités.

          Exposons deux méthodes de résolution :

          La méthode par combinaison linéaire (ou par addition) :

          On multiplie les équations de départ par deux nombres de façon qu’en ajoutant les nouvelles équations, on obtienne une équation du premier degré à une inconnue.

          Exemple :  Résolvons  2x - 3y + 10 = 0 (1)  et  x + y + 5 = 0 (2)  par addition.

                          2x - 3y + 10 = 0 (1) × 1

                          x + y + 5 = 0 (2) × 3

                          2x - 3y + 10 = 0 

                          3x + 3y + 15 = 0  

                          addition des deux équations 

                                    5x + 25 = 0

                                    5x = – 25

                                    x = – 25 / 5

                                    x = – 5

                              (2)  x + y + 5 = 0

                                    – 5 + y + 5 = 0

                                    y = 5 – 5

                                    y = 0

                            Le système d’équations admet une solution unique, le couple (– 5 ; 0).

          La méthode par substitution :

          A partir d’une des deux équations, on exprime une inconnue en fonction de l’autre. Dans la seconde équation, on remplace cette inconnue par ce qu’on vient d’obtenir de façon à se ramener à une équation du premier degré à une inconnue.

          Exemple :  Résolvons 2x - 3y + 10 = 0 (1)  et  x + y + 5 = 0 (2)  par substitution.

                            (2) x + y + 5 = 0

                                 y = – x – 5

                            (1) 2x – 3y + 10 = 0

                                 2x – 3(– x – 5) + 10 = 0

                                 2x + 3x + 15 + 10 = 0

                                 2x + 3x = – 15 – 10

                                 5x = – 25

                                 x = – 25 / 5

                                 x =  – 5

                            (2) y = – x – 5

                                  y = – (– 5) – 5

                                  y = 5 – 5

                                  y = 0

                            Le système d’équations admet une solution unique, le couple (– 5 ; 0).

Résoudre un système d’inéquations à une inconnue :

          Résoudre un système d’inéquations à une inconnue, c’est trouver, si elles existent, la ou les valeurs de l’inconnue qui rendent vraies simultanément les deux inégalités.

          Exemple :  Résolvons x – 1 ≤ 2 (1)  et  2x ≥ 4  (2).

                            (1) x – 1 ≤ 2                                          (2) 2x ≥ 4

                                  x ≤ 2 + 1                                              x ≥ 4 : 2

                                  x ≤ 3                                                    x ≥  2

                            Cherchons les solutions communes :

                            Les solutions de ce système sont les nombres x tels que  2 ≤ x ≤ 3.

Respectif :

          Respectif ou respectivement signifie que l’on suit l’ordre d’énumération.

          Exemple :  I et J sont les milieux respectifs de [AB] et [AC]  signifie que :

                          I est le milieu de [AB]  et  J est le milieu de [AC].

Reste :

          Un reste est le nombre entier qui reste dans une division euclidienne.

                  r est le reste.            r = a – b q.    (r < b)

          Exemple : 

                                         3 est le reste.                3 = 23 – 5 × 4.

          Il existe aussi des restes dans des divisions non euclidiennes.

Retrancher :

          Retrancher un nombre à un autre nombre, c’est le soustraire de cet autre nombre.

          Exemple :  Retrancher 3 à 7  donne  7 – 3 =  4.

Rotation :

          La rotation est la transformation qui à un point A associe le point A’, image de A par la rotation de centre O et d’angle  (– 180° < α° ≤ 180°).  

          Ce point est tel que  angle AOA’ = α°  et  OA = OA’. 

          Les rotations conservent les distances, les aires, les angles, les milieux, l’alignement, le parallélisme et l’orthogonalité.