Civilisations mathématiciennes : Arabie

L'Arabie :   (vers 700 – vers 1400)

La naissance de l'algèbre et l'aboutissement de la trigonométrie.

Nous allons considérer ici toutes les mathématiques écrites en arabe de 700 à 1400, particulièrement celles de certains mathématiciens de renom qui étaient perses (iraniens) et qui étaient alors sous domination arabe. 

 Les chiffres ‘‘indo-arabes’’ sont 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9. Ils ont été créés en Inde, mais ont changé de forme au fur et à mesure des différentes retranscriptions. Ils continueront à évoluer jusqu’à leur passage en Europe où, vers les XV^ème et  XVI^ème siècles, ils prendront la forme qu’on leur connaît aujourd’hui. Les Arabes ont utilisé le système de numération indien et permis une très large diffusion des chiffres en Occident.

 Ils utilisèrent le zéro pour indiquer un ordre… (exemple : 109). Le zéro était appelé en arabe ‘‘Sifr’’ qui devint le mot chiffre. 

Le peuple arabe a joué un rôle fondamental dans l’histoire des mathématiques : en reprenant les acquis des sciences grecques et indiennes et en les améliorant, il a permis le renouveau scientifique européen en algèbre comme en géométrie…

Bagdad (Irak actuel) fut même la capitale culturelle du monde. Les deux grandes réussites des mathématiques musulmanes sont l'algèbre moderne et l'aboutissement de la trigonométrie.

Les mathématiciens arabes ont étudié les nombres premiers (ceux qui ne sont divisibles que par 1 et par eux-mêmes).  Exemples : 2 ; 3 ; 5 ; 7 ; 11 ; 13 ; 17 ; 19 ; 23 ; 19 ; 31… Les Arabes ont ainsi poursuivi les recherches des Grecs.

 Ils établirent que tout nombre entier peut s’écrire en produit de facteurs premiers. Les Arabes travaillent sur les entiers et découvrent de nouveaux couples de nombres amicaux (voir Pythagore, Grèce) autres que (220; 284) :   (17296 ; 18416) et (9363584 ; 9437056).

Les Arabes manient très aisément les opérations de base sur les nombres entiers et les fractions et fondent l'algèbre moderne. Ils seront des spécialistes des équations. Un mathématicien ira même jusqu’à résoudre un système de 210 équations à 10 inconnues. Un autre émet l’idée que l’équation  x³ + y³ = z³ n’a pas de solutions entières, ce qui deviendra plus tard la célèbre conjecture de Fermat.

 On commence à user de la méthode par récurrence, en particulier dans les formules :

1 + 2 + 3 + .......... + n = [n(n + 1)] : 2    ;

1² + 2² + 3² + ........... + n² = [n(n + 1)(n + 2)] : 6    ;

1³ + 2³ + 3³ + .......... + n³ = (1 + 2+ 3 +.......... + n)² .

Les Arabes développent considérablement la trigonométrie. Ils définissent clairement les sinus, cosinus, tangente et établissent les fameuses formules :

tan a = sin a : cos a    ;    (sin a)² + (cos a)² = 1 .

cos (a + b) = cos a × cos b - sin a × sin b    ;

sin (a + b) = sin a × cos b + sin b × cos a    ;

cos 2a = 1 – 2(sin a)²    ;    sin 2a = 2 sin a cos a    ;    etc....

Jusque là, la trigonométrie n'avait été qu'une difficile méthode basée sur les arcs de cercle et utilisée par le grand astronome grec Ptolémée.