Catégories de nombres : Nombres rationnels et irrationnels

1) Les nombres rationnels, dont les fractions :

Un nombre rationnel est un nombre qui peut s'écrire sous forme d'un rapport de deux nombres entiers.

Les fractions ont une longue histoire :

Les Babyloniens utilisaient des fractions de dénominateur 60, 60², …

Les Egyptiens n'utilisaient que des fractions de numérateur 1, à l'exception de la fraction 2/3.

Les Grecs représentaient les nombres géométriquement, ils ont donc considéré les fractions comme des rapports de longueur, ce qui les a conduits aux nombres rationnels.

Les Romains utilisent une notation où le dénominateur est au-dessus du numérateur, ce qui est très mal commode.

Les Arabes jusqu'au X^ème siècle ne considèrent pas les fractions comme des nombres, mais comme des opérateurs.

Les Indiens commencent à superposer les numérateur et dénominateur.

Vers 1150, un Arabe les sépare par une barre de fraction.

Al-Kashi théorisera l'utilisation des fractions décimales (dont le dénominateur est une puissance de 10).

On peut dire que c'est au XVII^ème siècle que les fractions ont acquis leur forme d'aujourd'hui.

2) Les nombres irrationnels :

Les nombres irrationnels sont des nombres qui ne peuvent pas s'écrire sous forme de fraction de deux nombres entiers.

On s'est aperçu dès l'Antiquité que certains nombres ne pouvaient pas s'écrire sous forme de fraction.

En effet, les racines carrées et le nombre π sont connus depuis les Babyloniens.

Evidemment, les symboles n'existent pas encore et on n'en connaît que des approximations.

L’allemand Rudolph invente le symbole √ vers 1525.

Le suisse Leonhard Euler vulgarise le symbole π vers 1750, après que William Jones l'ait utilisé en 1706.

On distingue parmi les nombres irrationnels :

- les nombres algébriques, qui sont solution d'une équation algébrique avec des coefficients entiers, comme  √2 qui est solution de l'équation  x² = 2 ;

- les nombres transcendants, qui ne le sont pas, comme le nombre π.