Catégories de nombres : Nombres entiers

1) Les nombres entiers naturels :

Les nombres entiers naturels sont des nombres d'une suite de premier terme 0 et tels qu'un terme est égal à la somme du précédent et de 1 :

0  ;  1  ;  2  ;  3  ;  4  ; …… ;  10  ;  11  ;  …..;  256  ; ……

Il existe une infinité de nombres entiers naturels.

Certains d'entre eux sont des nombres premiers, d'autres sont des nombres parfaits, d'autres encore sont des nombres palindromes et des couples d'entiers peuvent caractériser des nombres premiers entre eux ou des nombres amicaux.

- Les nombres premiers :

Les nombres premiers sont les nombres entiers qui ne sont divisibles que par 1 et par eux-mêmes.

2  ;  3  ;  5  ;  7  ;  11  ;  13  ;  17  ;  19  ;  23  ;  29  ;  31  ;  37  ;  41  ;  43  ;  47  ;  53  ;  59  ;  61  ;  67  ;  71  ;  73  ;  79  ;  83  ;  89  ;  97 sont les nombres premiers inférieurs à 100.

Il existe une méthode pour savoir si un nombre est premier ou non, c'est le crible d'Eratosthène.

Voici quelques grands nombres premiers :

Un nombre de Fermat en 1640 :   616 318 177.

Un nombre d'Euler en 1732 :   2³¹ -1 = 2 147 483 647.

Un nombre de 1963 :   2^{11 213} -1  avec 3 376 chiffres.

Un nombre de 1971 :   2^{19 937} -1  avec 6 002 chiffres.

Un record de 1999 :   2^{6 972 593} -1  avec 2 098 960 chiffres.

Ce record a été évidemment calculé par ordinateur. Une association offre des milliers de dollars pour chaque record battu !

Les nombres premiers se font plus rares dès qu'ils deviennent plus grands :

Entre 1 et 10, il y a 40 % de nombre premiers.

Entre 1 et 100, il y en a 25 %.

Entre 1 et 1 000, on en trouve 14,4 %.

Entre 1 et 1 000 000 000, il n'y en a plus que 4,8 %.

Deux nombres premiers sont jumeaux si leur différence est égale à 2.

Voici quelques paires de nombres premiers jumeaux :

(3 ; 5)  ;  (5 ; 7)  ;  (11 ; 13)  ;  (17 ; 19)  ;  (29 ; 31).

- Les nombres parfaits :

Les nombres parfaits sont des nombres entiers qui sont égaux à la somme de leurs diviseurs stricts.

6 = 1 + 2 + 3   ;   28 = 1 + 2 + 4 + 7 + 14.

Entre 0 et 10 000, il n'existe que 4 nombres parfaits :  6  ;  28  ;  496  et  8128.

Les Grecs découvrirent ces quatre premiers nombres parfaits.

Euclide a établi une proposition qui permet d'en trouver quelques-uns :

Pour tout nombre n, si  1 + 2 + 2² + …… + 2ⁿ est un nombre premier,

alors le nombre  2ⁿ (1 + 2 + 2² + …… + 2ⁿ)  est un nombre parfait.

Ce n'est que 1500 ans plus tard que le cinquième nombre parfait fut découvert : 33 550 336.

Le sixième est 8 589 869 056. Nous en connaissons quarante.
En voici un qui est formé de 1373 chiffres : 2^{216 091} (2^{216 090} – 1).

Ce sont tous des nombres de la forme  2^n-1 (2ⁿ – 1)  où 2ⁿ – 1  est un nombre premier.

- Les nombres palindromes :

Ce sont des nombres entiers qui se lisent indifféremment dans les deux sens.

101  ;  22  ;  3663  ;  21012  sont des nombres palindromes.

- Les nombres premiers entre eux :

Deux nombres entiers sont premiers entre eux s'ils n'ont pas d'autres diviseurs communs que 1.

7 et 13 n'ont que 1 comme diviseur commun  donc  7 et 13 sont premiers entre eux.

12 et 32 ont plusieurs diviseurs communs  :  1 ;  2  et  4   donc  12 et 32 ne sont pas premiers entre eux. 

- Les nombres amicaux :

(220 ; 284) est un couple de nombres amicaux car 284 est égal à la somme des diviseurs stricts de 220, et réciproquement.

284 = 1 + 2 + 4 + 5 + 10 + 11 + 20 + 22 + 44 + 55 + 110   ;

220 = 1 + 2 + 4 + 71 + 142.

(17 296 ; 18 416) et (9 363 584 ; 9 437 056) sont d'autres couples de nombres amicaux découverts ou "redécouverts" respectivement par Fermat et Descartes.

Le couple (1184 ; 1210) n'a été découvert qu'en 1866 par Niccolo Paganini à l'âge de 16 ans.

Aujourd'hui, on a recherché par ordinateur de nouveaux couples et on en a trouvé plus de 2 000 000.

2) Les nombres entiers relatifs :

Les nombres entiers relatifs sont des nombres entiers précédés d'un signe (+ ou -) ou sans signe. On dit qu'ils sont relatifs parce qu'ils ont des signes.

0  ;  258  ;  49 762  ;  - 12   et  - 265  sont des nombres entiers relatifs.

Les nombres entiers relatifs qui ont des signes +  sont des entiers positifs.

+ 5 = 5  ;  + 189  ;  0  ;  + 6 521  ;  78  et  892  sont des entiers positifs.

Les nombres entiers relatifs qui ont des signes  -  sont des entiers négatifs.

- 25  ;  - 5698  ;  - 3  ;  0  et  - 56   sont des entiers négatifs.