Le plus grand nombre premier à ce jour

12.04.2007

Nombres premiers

Les nombres premiers sont les nombres entiers qui ne sont divisibles que par 1 et par eux-mêmes.

2 ; 3 ; 5 ; 7 ; 11 ; 13 ; 17 ; 19 ; 23 ; 29 ; 31 sont les premiers nombres premiers.

Les nombres premiers permettent de reconstruire n'importe quel entier par multiplication : c'est un théorème important, démontré par Gauss en 1801.

Exemple : 100 = 2² x 5².

Il existe une infinité de nombres premiers. Euclide semble l'avoir déjà démontré, puis Euler en apportera une preuve irréfutable.

Nombres de Mersenne

Un nombre premier de Mersenne est un nombre premier s'écrivant sous la forme 2^p - 1, p étant premier. Ces nombres premiers doivent leur nom à un érudit et mathématicien français du XVII^e siècle, Marin Mersenne.

Plus généralement, les nombres de Mersenne (pas nécessairement premiers, mais candidats à l'être) sont les nombres de la forme 2^p - 1, avec p premier.

Les plus petits nombres premiers de Mersenne sont:

2² - 1 = 3 ; 2³ - 1 = 7 ; 2⁵ - 1 = 31 ; 2⁷ - 1 = 127.

Mais 2¹¹ - 1 = 2047 = 23 x 89 est un nombre de Mersenne, mais non premier.

On a démontré qu'un entier de la forme 2^p - 1 ne peut pas être premier si p n'est pas lui-même premier.

Ainsi 2⁴ – 1 = 15 n'est pas de Mersenne, ni premier.

Le plus grand nombre premier découvert

Un projet informatique GIMPS (programme de recherche via Internet du plus grand nombre premier de Mersenne) a permis de déterminer le plus grand nombre premier jamais connu.

Comme ses prédécesseurs, il s'agit d'un nombre de Mersenne : 2^32.582.657- 1.

Il s'écrit avec 9.808.358 de chiffres ! C'est le dixième nombre de Mersenne premier trouvé par le projet GIMPS et le 44ème nombre de Mersenne premier connu. On l'appelle : M44. Il a été découvert le 4 septembre 2006 par deux professeurs d'une Université du Missouri, qui avaient déjà découvert M43 neuf mois auparavant.

Les participants au GIMPS se demandaient si M44 allait enfin dépasser la barrière psychologique des 10 millions de chiffres, et s'il allait rapporter à son découvreur une partie du prix de 100.000 dollars. Finalement non, le suspense continue et que tous espèrent devenir cet illustre découvreur.

Lancé en janvier 1996, le projet GIMPS a pour but de trouver de nouveaux nombres de Mersenne premiers. Des dizaines de milliers de PC dans le monde sont connectés via Internet. Ils effectuent des multiplications sur des nombres ayant maintenant plus de 10 millions de chiffres.

Certains contributeurs se lancent même à la recherche d'un nombre de Mersenne premier de plus de 100 millions de chiffres (1 million de dollars de prime !).