FIBONACCI, Léonard de Pise (1175 – 1240), italien :

Fibonacci, dit Léonard de Pise, est un mathématicien italien. Il apprend l’arithmétique en Afrique du Nord, où il a suivi son père. C’est là-bas qu’il fut convaincu que les méthodes indo-arabes étaient les meilleures en calcul.

Aussi, en 1202, il publie le célèbre ‘‘Liber Abacci’’ qui permet de diffuser en Occident la science mathématique des Arabes et des Grecs. Dans cet ouvrage, il explique la notation de position de nos nombres, les méthodes de calcul de nos opérations élémentaires mais aussi la recherche d’une racine carrée ou cubique.

Il fut certainement le premier savant européen à utiliser les chiffres ‘‘indo-arabes’’ et notamment le chiffre 0 dans ses travaux algébriques.

Ces techniques nouvelles se diffuseront avec lenteur puisqu’il faudra presque 300 ans pour arriver à une écriture des nombres décimaux proche de la nôtre.

Fibonacci appela le chiffre 0 zephirum en latin, qui deviendra zefiro en italien, puis par contraction zéro.

 Peu à peu, le calcul sur abaque fut remplacé par le calcul algorithmique.

Il introduit dans son livre la célèbre suite de Fibonacci dans laquelle chaque terme est égal à la somme des deux termes précédents (1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, 233, 377,….).
Si l'on poursuit cette suite et que l'on fait le rapport d'un nombre sur celui qu'il précède, on découvre que ce rapport tend vers le nombre φ.

φ = (1 + √5) / 2 ≈ 1,61803...

Fibonacci nous donne ainsi un moyen de déterminer le célèbre Nombre d’Or.

René DESCARTES (1596-1650)

Extrait de Règles pour la direction de l’esprit

L’esprit humain possède en effet je ne sais quoi de divin, où les premières semences des pensées utiles ont été déposées, en sorte que souvent, si négligées et si étouffées soient-elles par les études qui les dévient, elles produisent des effets spontanés. Nous en faisons l’expérience dans les sciences les plus faciles, l’arithmétique et la géométrie.

Blaise PASCAL (1623-1662)

Extrait de Les pensées de Pascal

Que l’homme contemple donc la nature entière dans sa haute et pleine majesté : (…)  Tout ce monde visible n’est qu’un trait imperceptible dans l’ample sein de la nature… C’est une sphère infinie dont le centre est partout, la circonférence nulle part.

Charles PERRAULT (1628-1703)

Extrait de ses contes

Le Compas glorieux se réveille en sursaut,

Emu de cette vue et d’un espoir si haut.

Il rend grâce au soleil, et ferme comme un Aigle

Le regarde et s’en va : Puis rencontre la Règle ;

Droite, d’un grave port, pleine de majesté,

Inflexible et surtout observant l’équité (…)

Toutefois nos amours, répliqua le Compas,

Produiront des enfants qui vaincront le trépas.

De nous deux sortira la belle Architecture,

Et mille nobles arts pour polir la nature, (…)

Le Compas aussitôt sur un pied se dressa,

Et de l’autre, en tournant un grand cercle traça,

La Règle en fut ravie, et soudain se vint mettre

Dans le milieu du cercle, et fit le diamètre.

Son amant l’embrassa, l’ayant à sa merci,

Tantôt s’élargissant et tantôt raccourci,

Et l’on vit naître alors de leurs doctes postures

Triangles et carrés, et mille autres figures.

Nicolas BOILEAU (1636-1711)

Extrait

L’homme, dont la vie entière

Est de quatre-vingt-seize ans,

Dort le tiers de sa carrière,

C’est juste trente-deux ans.

Ajoutons pour maladies,

Procès, voyages, accidents

Au moins un quart de la vie,

C’est encore deux fois douze ans.

Par jour, deux heures d’études

Ou de travaux - font huit ans,

Noirs chagrins, inquiétudes –

Pour le double font seize ans.

Pour affaires qu’on projette

Demi-heure, - encore deux ans.

Cinq quarts d’heures de toilette :

Barbe et caetera – cinq ans.

Par jour, pour manger et boire

Deux heures font bien huit ans.

Cela porte le mémoire

Jusqu’à quatre-vingt-quinze ans.

Reste encore un an pour faire

Ce qu’oiseaux font au printemps.

Par jour, l’homme a donc sur terre

un quart d’heure de bon temps.

Jonathan SWIFT (1665-1745)

Extrait des Voyages de Gulliver

Ces gens qui sont d’excellents mathématiciens, sont parvenus à une parfaite maîtrise des arts mécaniques, grâce à l’appui et aux encouragements de leur Empereur, grand protecteur de la science.(…) Cinq cents charpentiers et mécaniciens reçurent l’ordre de se mettre immédiatement à l’œuvre pour construire le plus formidable engin qu’ils eussent encore vu. C’était une plate-forme en bois s’élevant à trois pouces au-dessus du sol, de sept pieds de long sur quatre de large, et posée sur vingt-deux roues. (…) Elle fut placée parallèlement à mon corps. Mais la principale difficulté était de me hisser jusqu’à ce véhicule et de m’y installer. Pour cela, on dressa d’abord quatre-vingts poteaux, d’une hauteur d’un pied, et de fortes cordes de la hauteur d’un fil d’emballage furent reliées par des crochets à des bandes que l’on avait passées autour de mon cou, de mes mains, de mon corps et de mes jambes. Neuf cents hommes, choisis parmi les plus vigoureux, reçurent alors l’ordre de tirer sur ces cordes par des poulies fixées aux poteaux et en moins de trois heures je fus ainsi hissé et installé sur la machine, où l’on m’attacha solidement.

(jeu de 52 cartes)

Demandez à un spectateur :

- d'écrire en cachette un nombre de quatre chiffres ;

- de calculer la somme de ces quatre chiffres ;

- de soustraire au nombre de départ la somme trouvée ;

- de sortir du jeu 4 cartes correspondant aux chiffres du résultat obtenu, mais de 4 couleurs différentes (par exemple, pour 1929 : 1 de cœur, 9 de carreau, 2 de trèfle  et  9 de pique ; pour un 0, prendre un 10) ;

- de mettre une de ces 4 cartes dans sa poche et de montrer les trois autres.

Annoncez alors presque aussitôt au spectateur la carte cachée !!!

Solution :

Faites le total des chiffres représentés par les trois cartes et devinez alors le complément pour arriver à un multiple de 9.

Vous avez déjà la hauteur de la carte cachée, vous n'avez plus qu'à deviner la couleur en voyant les trois autres couleurs.

L'explication est simple :

Le nombre de quatre chiffres choisi par le spectateur est  abcd.

abcd = 1000a + 100b + 10c + d.

La somme des quatre chiffres est  a + b +c + d.

En soustrayant au nombre de départ la somme trouvée, on a :

1000a + 100b + 10c + d – (a + b +c + d) = 1000a + 100b + 10c + d – a – b – c – d.

1000a + 100b + 10c + d – (a + b +c + d) = 999a + 99b + 9c = 9 (111a + 11b + c).

Le résultat obtenu est donc un multiple de 9, la somme de ses chiffres est donc aussi un multiple de 9.

C'est pourquoi la hauteur de la carte cachée est le complément du total des chiffres représentés par les trois cartes pour arriver à un multiple de 9.

Perspective cavalière :

          La perspective cavalière permet de représenter sur un plan des solides de l’espace.

          On utilise les conventions suivantes :

          - Les lignes cachées sont en pointillé.

          - Les lignes parallèles dans l’espace restent parallèles.

          - Les droites perpendiculaires dans l’espace ne restent pas toujours perpendiculaires.

PGCD :

          Le PGCD de deux nombres entiers, ou Plus Grand Commun Diviseur, est le plus grand des diviseurs communs à ces deux nombres.

          Exemple :  Prenons 16 et 20.

                          Les diviseurs de 16 sont :  1 ; 2 ; 4 ; 8  et  16.

                          Les diviseurs de 20 sont :  1 ; 2 ; 4 ; 5 ; 10  et  20.

                          Les diviseurs communs à 16 et 20 sont :  1 ; 2  et  4.

                          Le PGCD de 16 et 20 est 4.

          Pour deux nombres premiers entre eux, le PGCD est 1.

          Exemple :  9 et 13 sont premiers entre eux : leur seul diviseur commun est 1.

                          Le PGCD de 9 et 13 est 1.

          Il existe une méthode pour déterminer le PGCD de deux nombres :

          L’algorithme d’Euclide permet de calculer le PGCD de deux entiers naturels non nuls a et b sans avoir à dresser la liste des diviseurs de a et de b.   a ≥ b.

          On divise a par b, on obtient  a = b × q₁ + r₁ .

          si r₁ ≠ 0, on divise b par r₁, on obtient  b = r₁ × q₂ + r₂ .

          si r₂ ≠ 0, on divise r₁ par r₂, on obtient  r₁ = r₂ × q₃ + r₃…….

          On s’arrête quand le reste est nul.

          Le PGCD de a et b est le dernier reste non nul.

          Exemple :  Calculer le PGCD de 420 et 1500.

                            Divisons 1500 par 420.

                            1500 = 420 × 3 + 240

                            420 = 240 × 1 + 180

                            240 = 180 × 1 + 60

                            180 = 60 × 3 + 0

                            Le PGCD de 420 et 1500 est 60.

Pi :

          Le nombre Pi est le quotient du périmètre d’un cercle par son diamètre.

          Symbole : π.                              π  ≈ 3,14159.

          Historiquement, les approximations du nombre π ont passionné les mathématiciens.

          Avant notre ère, les Babyloniens trouvent que π  ≈ 3.

          Chez les Egyptiens, π  ≈ 3 + 1/6,  soit π  ≈ 3,16.

          Vers 250 ans avant J-C, Archimède, par la méthode des polygones inscrits et exinscrits à un cercle de rayon 1, arrive à une bonne approximation du nombre π.  π  ≈ 3,14.

          Au début de notre ère, pour les Hindous, on arrive à π  ≈ 3,1416.

          Au 3^ème siècle, un Chinois parvient à déterminer que π  ≈ 3,14159.

          En 1593, un Français, François Viète donnera 11 décimales exactes.

          Depuis 1706, on a des méthodes de calcul moins pénibles (on utilise des suites de calculs et on étudie leurs « limites »). On arrive ainsi à déterminer de nombreuses décimales de π (par exemple, le CEA à Paris a trouvé un million de décimales pour π).

          La suite des décimales de π est utilisée pour tester le bon fonctionnement des ordinateurs.

Pied d’une hauteur :

          Le pied d’une hauteur dans un triangle est le point d’intersection de la hauteur passant par un sommet et de la droite opposée à ce sommet.               H est le pied de la hauteur issue de A dans le triangle ABC.

Plan :

          Un plan est une surface plane illimitée.

          Son image peut être la surface d’un lac ou une feuille de papier.

                                                        Notation :  Plan (ABC).

Plans parallèles :

          Deux plans parallèles sont deux plans qui n’ont pas de point commun ou qui sont confondus (égaux).  

                                                           Notation :  P // P’.

Plans perpendiculaires :

          Deux plans perpendiculaires sont deux plans sécants dont l’un d’eux contient une droite perpendiculaire à l’autre.  

                                                     Notation :  P ^ P’.

Plans sécants :

          Deux plans sécants sont deux plans dont l’intersection est une droite.

Point :

          Un point est le plus petit élément de l’espace ou du plan.

          Il est souvent représenté par une croix et se note avec une lettre majuscule.

Point de concours :

          Un point de concours est un point commun à trois droites (ou plus de trois droites) concourantes.  

Point d’intersection :

          Un point d’intersection est un point commun à deux droites sécantes.

Points cocycliques :

          Des points cocycliques sont des points situés sur le même cercle.

Polyèdre :

          Un polyèdre est un solide de l’espace limité par des polygones qu’on appelle des faces.

          Les parallélépipèdes rectangles, les cubes, les pyramides et les prismes sont des polyèdres.

          Un polyèdre ayant quatre faces s’appelle un tétraèdre.

          Un polyèdre ayant huit faces s’appelle un octaèdre.

Polygone :

          Un polygone est une ligne brisée fermée constituée de côtés.

          Un polygone est aussi la surface limitée par cette ligne brisée fermée.

          Les principaux polygones sont :

          - le triangle (3 côtés),

          - le quadrilatère (4 côtés),

          - le pentagone (5 côtés),

          - l’hexagone (6 côtés),

          - l’heptagone (7 côtés),

          - l’octogone (8 côtés),

          - l’ennéagone (9 côtés),

          - le décagone (10 côtés).

Polygone régulier :

          Un polygone régulier est un polygone qui a tous ses côtés de même longueur et ses angles intérieurs de même mesure.

          Polygones réguliers usuels :

triangle équilatéral	carré	hexagone régulier	octogone régulier

            La construction du pentagone régulier à la règle et au compas a longtemps passionné les mathématiciens.

Population statistique :

          Une population statistique est un ensemble d’individus (hommes, animaux, objets divers...) soumis à une étude statistique.

Positif :

          Un nombre positif est un nombre affecté d’un signe + ou sans signe.

          Exemples :  + 21 ;  589,7 ;    ou  √5.

Position d’une droite et d’un cercle :

          La position relative d’une droite et d’un cercle dans un plan est la façon dont se rencontrent cette droite et ce cercle.

          Il existe trois positions, une droite et un cercle peuvent avoir :

0 point commun :	1 point commun :	2 points communs :
La droite d1 est  extérieure au cercle.	la droite d2 est tangente au cercle.	la droite d3 est sécante au cercle.