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MATHS-ROMETUS

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 Rometus et Figures

 

dessins : Wilfried LEMIEUX

Rometus et histoire

  Histoire des maths 

 

 

Utilité des maths Rometus et utilité 

 

dessins : Wilfried LEMIEUX

5 novembre 2016 6 05 /11 /novembre /2016 19:45

William HAMILTON (1805 – 1865), irlandais :

 

Hamilton 00  Hamilton 01

 

 

William Hamilton, grand mathématicien et physicien irlandais, enseigna l’astronomie à Dublin dès l’âge de 22 ans.

A 32 ans, Sir Hamilton était président de l’Académie royale d’Irlande.

On dit qu’à 5 ans, il lit le latin, le grec et l’hébreu. On prétend qu’à 13 ans, il parle 13 langues. A 17 ans, il publie ses premiers travaux.

Dès 25 ans, il écrit une théorie sur les nombres complexes, donnant une traduction des déplacements du plan à l’aide de l’addition et de la multiplication.

 

Les travaux d’Hamilton font référence à l’optique, à la dynamique, aux équations de degré 5 et aux équations différentielles.

Astronome royal à la cour d’Irlande, il invente les quaternions, genre de nombres qui caractérisent les éléments d’un espace à quatre dimensions.

 Hamilton 02

 

 Il contribue aussi à la création du calcul vectoriel et de l’algèbre linéaire.

Il connaît, suite à l’échec de son mariage, quelques déboires et devient quelque peu alcoolique. Il meurt en 1865, à l’âge de 60 ans, de la goutte dans un état de misère physiologique avancé.

Published by Jean-Luc ROMET - dans Histoire des maths
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18 juin 2016 6 18 /06 /juin /2016 08:08

 

Complète ce sudoku :

  

de niveau difficile :

 

 

 

5

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

8

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

9

 

 

 

 

 

 

 

 

8

 

 

6

 

 

 

4

 

 

 

 

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1

 

 

 

 

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3

 

 

9

2

 

 

 

 

  

 

 

 

Solutions :

 

 

de niveau difficile :

 

 

2

5

8

4

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1

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3

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1

  

 

Published by Jean-Luc ROMET - dans Maths en jeux
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23 mars 2016 3 23 /03 /mars /2016 13:21

Raymond QUENEAU (1903-1976)

Extrait de Exercices de style

 

A 12h17 dans un autobus de la ligne S, long de 10 mètres, large de 2,1, haut de 3,5, à 3km600 de son point de départ, alors qu’il était chargé de 48 personnes, un individu de sexe masculin, âgé de 27 ans 3 mois 8 jours, taille 1m72 et pesant 65 kg et portant sur la tête un chapeau haut de 17 centimètres, dont la calotte était entourée d’un ruban long de 35 centimètres, interpelle un homme âgé de 48 ans 4 mois 3 jours, taille 1m68 et pesant 77 kg, au moyen de quatorze mots dont l’énonciation dura 5 secondes et qui faisait allusion à des déplacements involontaires de 15 à 20 millimètres.

 

 

Hervé BAZIN (1911-1996)

Poème

 

Plus par plus donne plus

Les amis de nos amis sont nos amis

Plus par moins donne moins

Les amis de nos ennemis sont nos ennemis

Moins par plus donne moins

Les ennemis de nos amis sont nos ennemis

Moins par moins donne plus

Les ennemis de nos ennemis sont nos amis.

 

 

Boris VIAN (1920-1959)

Extrait de En avant la musique

 

Il y a des racines de tout’ les formes

Des pointues, des rond’ et des difformes

Cell’ de la guimauve est angélique

Il y a une Racin’ qui est classique

Et la mandragore est diabolique

Mêm’ s’il nous bassin’ on n’y peut plus rien

Mais la racine que j’adore

Et qu’on extrait sans effort-eu

La racin’carrée, c’est ma préférée

Une racine qu’a un aspect louche

C’est cell’ de l’arbre de couche

Le drogué vend son âme

Pour cell’ de l’arbre à cames

Si la racine du manioc a

De quoi fair’ du tapioca

Evitons tout’ not’ vie

(de bouffer) Celle du pissenlit

Il y a des racin’ qui s’vend’ en bottes

Le radis, l’navet ou la carotte

Vous connaissez celle de la bruyère

Dans laquell’ on taille des pip’ en terre

Il y a la racin’ de canne à pêche

Cultivez-la donc, qu’est-ce qui vous empêche ?

Mais la racine que j’adore

Et qu’on extrait sans effort-eu

La racin’carrée, c’est ma préférée.

 

 

Raymond DEVOS (1922-2006)

Extrait

 

Mesdames et messieurs…, je vous signale que je vais parler pour ne rien dire. (…)

Mais, me direz-vous, si on parle pour ne rien dire, de quoi allons-nous parler ?

Eh bien de rien ! De rien !

Car rien… ce n'est pas rien !

La preuve, c'est qu'on peut le soustraire.

Exemple :

Rien moins rien = moins que rien !

Si l'on peut trouver moins que rien, c'est que rien vaut déjà quelque chose !

On peut acheter quelque chose avec rien !

En le multipliant !

Une fois rien… c'est rien !

Deux fois rien… ce n'est pas beaucoup !

Mais trois fois rien !… Pour trois fois rien, on peut déjà acheter quelque chose… et pour pas cher !

Maintenant, si vous multipliez trois fois rien par trois fois rien :

Rien multiplié par rien = rien.

Trois multiplié par trois = neuf.

Cela fait : rien de neuf.

Oui… Ce n'est pas la peine d'en parler !

Published by Jean-Luc ROMET - dans Maths et littérature
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31 janvier 2016 7 31 /01 /janvier /2016 09:19

1) Certaines approximations de π :

 

Depuis l'Antiquité jusqu'à aujourd'hui, on essaie de donner une approximation du nombre π.

 

Voici un tableau donnant une idée de l'évolution de ces approximations :

 

Nom du mathématicien

ou de la civilisation

Valeur de π

Nombre de

décimales

exactes

Date du

calcul

Babylone

3 + 1/8 ≈ 3,125

1

- 1900

Egypte

(4/3)43,160

1

- 1600

Chine

3

0

- 1200

Bible

3

0

- 550

Archimède (grec)

3,14185

3

-250

Hon Han Chu (chinois)

√10 ≈ 3,16

1

130

Ptolémée (grec)

377/120 ≈ 3,1416

3

150

Wang Fau (chinois)

142/45 ≈ 3,15

1

250

Liu Hui (chinois)

3,14159

5

260

Tsu Chung Chih (chinois)

355/113 ≈ 3,141592

6

480

Aryabhata (indien)

3,14156

4

500

Brahmagupta (indien)

√10 ≈ 3,16

1

640

Al Khwarizmi (arabe)

22/7 ≈ 3,1428 ; 3,1416

3

800

Fibonacci (italien)

864/275 ≈ 3,1418

3

1220

Al Kashi (arabe)

 

16

1430

Von Lauchen (allemand)

3,14159265

8

1550

Viète (français)

3,1415926536

9

1593

Romanus (hollandais)

 

15

1593

Van Ceulen (hollandais)

 

34

1609

Grienberger

 

39

1630

Sharp

 

71

1699

Machin (anglais)

 

100

1706

Dase (anglais)

 

200

1844

Shanks (anglais)

 

528

1873

Wrench et Fergusson

 

808

1948

Reitwiestner (Etats-Unis)

 

2037

1949

Genuys

 

10 000

1958

Wrench et Shanks

 

100 265

1961

Guilloud et Bouyer

 

1 001 250

1973

Kanada et Tamura

 

1 073 741 799

1994

Kanada et Takahashi

 

50 milliards

1997

Equipe de Kanada (Japon)

 

1241 milliards

2002

 

On peut se demander quel est l'utilité d'une telle recherche des décimales du nombre π. Il y a des intérêts immédiats qui sont la recherche de nouveaux outils mathématiques, la mise au point d'algorithmes rapides et un très bon test pour juger de la puissance des ordinateurs. Mais, il y a sans doute l'envie même de la recherche de l'infini…

 

 

2) Exemples de méthodes pour trouver une valeur de π :

 

Le grec Archimède, en 250 avant JC, est le premier à donner une façon de calculer π. Il a écrit un traité sur la mesure du cercle où il calcule le rapport de la circonférence sur le diamètre.

Pour cela, il encadre un cercle par deux polygones réguliers, un qui sera inscrit dans le cercle et un autre qui sera exinscrit. Il calcule alors le périmètre de ces deux polygones réguliers et en fait la moyenne. Plus les polygones réguliers ont de côtés, plus la précision est grande.

Archimède utilisera des polygones de 96 côtés, il trouvera les 3 premières décimales exactes de π.

Jusqu'en 1600, on continue à utiliser la méthode d'Archimède mais avec un nombre impressionnant de côtés, plus d'un million pour le hollandais Van Ceulen en 1609.

 

Ensuite, on essaie de trouver des suites de nombres qui s'approchent du nombre π. Euler, Gauss, Machin, Newton et Viète ont cherché de telles suites.

L'une des plus célèbres est celle de l'allemand Leibniz, découverte vers 1680 :

π/4 = 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9 - 1/11 + 1/13 - 1/15.....

 

Il devient ainsi plus facile de calculer le nombre π.

 

A présent, on utilise le principe des suites, mais on bénéficie de l'aide de l'ordinateur et de sa formidable puissance de calcul.

 

 

3) Quelques curiosités à propos de π :

 

1/ Pour retenir les premières décimales de π, on peut apprendre par cœur quelques lignes d'un poème et compter le nombre de lettres de chaque mot :

   

Que

j'

aime

à

faire

apprendre

un

nombre

utile

3,

1

4

1

5

9

2

6

5

 

aux

sages,

glorieux

Archimède,

artiste

ingénieux,

3

5

8

9

7

9

 

toi

de

qui

Syracuse

aime

encore

la

gloire.

3

2

3

8

4

6

2

6

 

Soit

ton

nom

conservé

par

de

savants

grimoires.

4

3

3

8

3

2

7

9

 

 

2/ π = PI, ses lettres sont un peu magiques :

 

P ou π est la 16ème lettre de l'alphabet.

16 = 4².

I est la 9ème lettre de l'alphabet.

9 = 3².

La somme de 16 et 9 est 25.

25 = 5².

Le produit de 16 et 25 est 144.

144 = 12².

Le quotient : 9/16 = 0,5625.

0,5625 = 0,75².

 

3/ Le quotient 355 / 113, découvert par un chinois vers 480 après JC, qui donne 6 décimales exactes est aussi un peu magique.

 

355/113 a des chiffres dont la somme est 6. 

3 + 3 = 6   ;   5 + 1 = 6   ;   5 + 1 = 6.

 

4/ Les mystiques se sont toujours demandé si π n'était pas un nombre divin.

 

 

4) Le nombre π et la vie quotidienne :

 

Le nombre π est celui que l'on rencontre le plus souvent dans la vie quotidienne et dans la nature puisque tout ce qui a une forme circulaire exige un calcul utilisant ce nombre que ce soit une longueur, une aire ou un volume.

Or, les planètes, les plantes, les animaux, les atomes ainsi que les constructions de l'homme ont besoin de modèles qui utilisent un moment le cercle ou l'arc de cercle et nécessitent l'usage du nombre π.

Published by Jean-Luc ROMET - dans Nombres en maths
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5 décembre 2015 6 05 /12 /décembre /2015 18:27

(jeu de 32 cartes)

 

Prenez votre jeu de cartes. Au préalable, placez la dame de cœur en 4ème position à partir du dessus. Annoncez que vous allez sortir la dame de coeur.

 

Demandez à un spectateur :

- de choisir un nombre N compris entre 5 et 20 ;

 

Posez alors une à une les cartes faces cachées, en dépassant le nombre N de 3 unités (si le nombre choisi est 7 allez jusqu'à 10). Excusez-vous, remettez le paquet réalisé au-dessus des autres cartes, et recommencez.

Là, en retournant la Nème carte, ce sera la dame de cœur !!!

 

 

 

Solution :

 

La Nème carte retournée sera la dame de cœur.

 

L'explication est simple :

On pose d'abord  (N + 3) cartes.

Puis, on remet le paquet formé au dessus des autres cartes.

On recommence à poser  N cartes.

N + 3 – N = 3.

Il restera en dessous parmi les cartes qui étaient au début du paquet 3 cartes.

La carte que l'on retourne en Nème position était en 4ème position au départ, c'était donc la dame de cœur.

Published by Jean-Luc ROMET - dans Maths en magie
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25 octobre 2015 7 25 /10 /octobre /2015 13:55

18-Les trois branches ou deux

Published by Jean-Luc ROMET - dans Maths en figures
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6 juin 2015 6 06 /06 /juin /2015 18:05
1    2   3
1 2   3
  4   5   6
  4   5   6
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  7   8   9
  10   15   20
  10   15   20
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8 février 2015 7 08 /02 /février /2015 10:53

Racine carrée :

          La racine carrée de a (a est un nombre positif), notée √a, est le nombre positif qui, multiplié par lui-même, donne a.

 

          Exemples :  √64 = 8    ;    √2 ≈ 1,414.

 

          a et b étant des nombres positifs, on a :

          (√a)² = a    ;     √a × √b = √(a × b)    ;     √a / √b = √(a / b)   (si b ≠ 0).

 

          Exemples :  √45 = √(9 × 5) = √9 × √5 = 3 × √5 = 3√5.

                            √(9 / 16) = √9 / √16 = 3 / 4 .

 

 

Radical :

          Un radical est un symbole √ utilisé pour l’écriture des racines carrées.

 

          Exemple :  √25 = 5.

 

 

Raisonnement :

          Un raisonnement est un enchaînement logique de phrases mathématiques (hypothèses, définitions, propriétés, opérations....) en vue d’obtenir une conclusion.

 

          Dans un raisonnement déductif, chaque phrase mathématique induit la suivante.

          En principe, on recherche d’abord les hypothèses, on indique la bonne propriété ou définition du cours et on en déduit la conclusion.

 

          Exemple :  ABC est un triangle isocèle en A,

                            d’après la propriété : si un triangle est isocèle, alors il a deux côtés de même

                            longueur,

                            AB = AC.

 

 

Rapport :

          Le rapport de a sur b, noté a : b, est le quotient de a par b.

 

          Exemples :  Le rapport de 3 sur 5 est 3 : 5 = 0,6.

                            En Physique, la masse volumique est le rapport de la masse sur le volume.

                             

 

Rapporteur :

          Un rapporteur est un instrument semi-circulaire gradué généralement en degrés qui sert à mesurer ou à représenter des angles.

  R 01

 

 

Rayon :

          Un rayon d’un cercle est un segment qui relie le centre du cercle à un point du cercle.

 R 02

   

                                                         [OA] est un rayon.

                                                         Un cercle a une infinité de rayons.

 

 

          Le rayon d’un cercle désigne aussi la distance du centre du cercle à l’un des points du cercle.

          Un rayon d’une sphère est un segment qui relie le centre de la sphère à un point quelconque de cette sphère.   R 03

   

          Le rayon d’une sphère désigne aussi la distance du centre de la sphère à l’un des points de la sphère.

 

 

Réciproque d’une propriété :

          La réciproque d’une propriété est obtenue à partir de cette propriété de départ en inversant une hypothèse et la conclusion.

 

          Exemple :  Propriété : Si un point appartient à la médiatrice d’un segment, alors il est à

                            égale distance des extrémités de ce segment.

                            Propriété réciproque : Si un point est à égale distance des extrémités d’un

                            segment, alors il appartient à la médiatrice de ce segment.

 

          La réciproque d’une propriété n’est pas toujours vraie.

 

          Exemple :  Si  a = b,  alors  a² = b².

                          Par contre, si  a² = b², on n’a pas forcément a = b  (on peut avoir a = - b).

 

 

Réciproque du théorème de Pythagore :

          La réciproque du théorème de Pythagore dit que si ABC est un triangle tel que

          BC² = AB² + AC², alors le triangle ABC est rectangle en A.

R 04   

          Exemple :  AB = 3 cm   ;   AC = 4 cm   ;   BC = 5 cm.

                            AB² = 9   ;   AC² = 16   ;   BC² = 25.

                            On a :  25 = 9 + 16

                                        BC² = AB² + AC².

                            D’après la réciproque du théorème de Pythagore,

                            ABC est un triangle rectangle en A.

 

 

Réciproque du théorème de Thalès :

          La réciproque du théorème de Thalès dit que si ABC est un triangle ; A, M et B sont alignés dans cet ordre ; A, N et C sont alignés dans cet ordre  et AM / AB = AN / AC,

          alors  (MN) // (BC).

 

R 05   

          Exemple :  AM = 1,2 cm   ;   AN = 2,1 cm   ;   AB = 1,6 cm   ;   AC = 2,8 cm.

                           AM / AB  = 1,2 / 1,6 = 0,75   ;     AN / AC = 2,1 / 2,8 = 0,75.

                            ABC est un triangle,

                            A, M et B sont alignés dans cet ordre,

                            A, N et C sont alignés dans cet ordre,

                            AM / AB = AN / AC.

                            D’après la réciproque du théorème de Thalès,

                            (MN) // (BC).

 

 

Réciproque du théorème des milieux :

          La réciproque du théorème des milieux dit que dans un triangle, si une droite passe par le milieu d’un côté en étant parallèle au second côté, alors elle coupe le troisième côté en son milieu.  

 R 06

  

          Exemple :  Dans le triangle ABC,

                            I est le milieu de [AB],

                            La parallèle à (BC) passant par I coupe (AC) en J.

                            D’après la réciproque du théorème des milieux,

                            (IJ) // (BC).

 

 

Rectangle :

          Un rectangle est un quadrilatère qui a quatre angles droits.

 R 07

        

          Propriétés caractéristiques :

          - Si un quadrilatère a quatre angles droits, alors c’est un rectangle.

          - Si un parallélogramme a deux côtés perpendiculaires, alors c’est un rectangle.

          - Si un parallélogramme a ses diagonales de même longueur, alors c’est un rectangle.

 

 

Réduction d’une expression :

          Une réduction d’une expression algébrique est l’action de réduire cette expression.

 

 

Réduction d’une figure ou d’un solide:

          Une réduction d’une figure ou d’un solide géométrique est une reproduction de cette figure ou de ce solide à une échelle strictement inférieure à 1. 

 

R 08 

           Si les dimensions d’une figure plane ou d’un solide sont multipliées par k (0 < k <1), alors les aires sont multipliées par k², les volumes sont multipliés par k3.

 

R 10  R 09

La petite pyramide est une

réduction de la grande.

Le petit cône est une

réduction du grand.

 

 

Réduire :

          Réduire une expression algébrique, c’est regrouper ensemble les termes de même nature.

 

          Exemples :  2x + 7 + 5x – 3 = 7x + 4.    

                            (car  2x + 5x = 7x    et   + 7 – 3 = + 4)

                             5x² – 3x + 7x² – 8x = 12x² – 11x.     

                            (car  5x² + 7x² = 12x²   et  – 3x  – 8x = – 11x)

 

          Réduire une figure géométrique, c’est la reproduire à une échelle plus petite.

 

 

Règle à calcul :

          Une règle à calcul est un instrument qui permettait d’effectuer certains calculs assez rapidement. Elle était basée sur des fonctions que l’on étudie en classe de Terminale : les Logarithmes.

 

 

Règle de calcul :

          Une règle de calcul est un nom donné à certains énoncés mathématiques en calcul numérique ou algébrique.

 

          Exemple :  Règle des signes :

                            - Le produit de deux nombres de même signe est un nombre positif.

                            - Le produit de deux nombres de signes différents est un nombre négatif.

                            5 × (– 7) = – 35   ;   (– 3) × (– 4) = 12   ;   – 8 × 2 = – 16   ;   4 × 6 = 24.

 

 

Règle de trois :

          La règle de trois est une technique pour calculer le quatrième terme d’une proportion connaissant les trois autres.

 

 

 

Règle graduée :

          Une règle graduée est un instrument qui sert à tracer des lignes droites et à mesurer des longueurs.   R 11

 

 

Repérage :

          Le repérage est l’action de repérer un point sur une droite graduée ou dans un plan.

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23 janvier 2015 5 23 /01 /janvier /2015 16:54

Carl-Friedrich GAUSS (1777 – 1855), allemand :

  

 

Gauss 00  Gauss 01

 

Carl-Friedrich Gauss est un astronome, mathématicien et physicien allemand, né à Brunswick et mort à 88 ans à Göttingen.

On le considère comme le plus grand mathématicien de tous les temps.

Il fut un initiateur au niveau de la rigueur, un grand novateur, un calculateur exceptionnel et un théoricien génial.

A 9 ans, il calcule la somme des 100 premiers nombres en quelques secondes, grâce à la formule :  

1 + 2 + 3 + ......... + 100 = (100 × 101) / 2 = 5050.

Son professeur éberlué, lui prête tous ses livres, ce qui fait qu’à 11 ans, Gauss avait autant de connaissances qu’un élève de 15 ans. Gauss 02

 

Il découvre, à 19 ans, le moyen de dessiner un polygone à 17 côtés avec un compas et une règle. Il démontre aussi qu’il est impossible d’en faire de même avec un à 7 côtés. C’est le premier progrès enregistré dans ce domaine depuis l’Antiquité.

Gauss 03 

A 24 ans, en 1801, il publie un livre qui demeure une bible de l’arithmétique moderne. Il détermine, la même année, la trajectoire de la planète Cérès (découverte par Piazzi).

 Gauss 04

 

On lui doit le magnétomètre, appareil qui sert à comparer les intensités et les champs magnétiques. Il s'occupa d'électricité. En 1807, il devient directeur de l’observatoire de Göttingen.

 

Gauss 05  Gauss 08

 

 

A 32 ans, en 1809, Gauss perd sa femme et un fils. Il perdra aussi en 1831 sa deuxième femme et s’en ira un moment en Amérique.

 

Gauss 06  Gauss 07

 

 

Ses travaux concernent toutes les branches des mathématiques : l’analyse, l’algèbre, la géométrie, les statistiques, les probabilités…

En mathématiques, il travaille sur les nombres a + iba et b sont des entiers, dits nombres complexes. La généralisation de ces nombres (i² = -1) conduisit à d'autres notions du nombre et au calcul vectoriel.

Gauss démontre, à 22 ans, le théorème fondamental de l’algèbre énoncé par d’Alembert : grâce à ces nombres complexes, il pourra factoriser n’importe quel polynôme.

Gauss pense qu’il existe des géométries non euclidiennes où il existerait plusieurs droites parallèles à une droite passant par un point et où la somme des angles d’un triangle serait inférieure à 180°. Craignant le ridicule, il ne publiera pas ses travaux et laissera à d’autres le soin de le prouver. Il cesse de travailler professionnellement en 1840, se consacre au magnétisme terrestre et meurt en 1855 durant son sommeil.

Published by Jean-Luc ROMET - dans Histoire des maths
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19 décembre 2014 5 19 /12 /décembre /2014 20:27

 

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