Le blog du professeur ROMETUS
Les mathématiques
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Raymond QUENEAU (1903-1976)
Extrait de Exercices de style
A 12h17 dans un autobus de la ligne S, long de 10 mètres, large de 2,1, haut de 3,5, à 3km600 de son point de départ, alors qu’il était chargé de 48 personnes, un individu de sexe masculin, âgé de 27 ans 3 mois 8 jours, taille 1m72 et pesant 65 kg et portant sur la tête un chapeau haut de 17 centimètres, dont la calotte était entourée d’un ruban long de 35 centimètres, interpelle un homme âgé de 48 ans 4 mois 3 jours, taille 1m68 et pesant 77 kg, au moyen de quatorze mots dont l’énonciation dura 5 secondes et qui faisait allusion à des déplacements involontaires de 15 à 20 millimètres.
Hervé BAZIN (1911-1996)
Poème
Plus par plus donne plus
Les amis de nos amis sont nos amis
Plus par moins donne moins
Les amis de nos ennemis sont nos ennemis
Moins par plus donne moins
Les ennemis de nos amis sont nos ennemis
Moins par moins donne plus
Les ennemis de nos ennemis sont nos amis.
Boris VIAN (1920-1959)
Extrait de En avant la musique
Il y a des racines de tout’ les formes
Des pointues, des rond’ et des difformes
Cell’ de la guimauve est angélique
Il y a une Racin’ qui est classique
Et la mandragore est diabolique
Mêm’ s’il nous bassin’ on n’y peut plus rien
Mais la racine que j’adore
Et qu’on extrait sans effort-eu
La racin’carrée, c’est ma préférée
Une racine qu’a un aspect louche
C’est cell’ de l’arbre de couche
Le drogué vend son âme
Pour cell’ de l’arbre à cames
Si la racine du manioc a
De quoi fair’ du tapioca
Evitons tout’ not’ vie
(de bouffer) Celle du pissenlit
Il y a des racin’ qui s’vend’ en bottes
Le radis, l’navet ou la carotte
Vous connaissez celle de la bruyère
Dans laquell’ on taille des pip’ en terre
Il y a la racin’ de canne à pêche
Cultivez-la donc, qu’est-ce qui vous empêche ?
Mais la racine que j’adore
Et qu’on extrait sans effort-eu
La racin’carrée, c’est ma préférée.
Raymond DEVOS (1922-2006)
Extrait
Mesdames et messieurs…, je vous signale que je vais parler pour ne rien dire. (…)
Mais, me direz-vous, si on parle pour ne rien dire, de quoi allons-nous parler ?
Eh bien de rien ! De rien !
Car rien… ce n'est pas rien !
La preuve, c'est qu'on peut le soustraire.
Exemple :
Rien moins rien = moins que rien !
Si l'on peut trouver moins que rien, c'est que rien vaut déjà quelque chose !
On peut acheter quelque chose avec rien !
En le multipliant !
Une fois rien… c'est rien !
Deux fois rien… ce n'est pas beaucoup !
Mais trois fois rien !… Pour trois fois rien, on peut déjà acheter quelque chose… et pour pas cher !
Maintenant, si vous multipliez trois fois rien par trois fois rien :
Rien multiplié par rien = rien.
Trois multiplié par trois = neuf.
Cela fait : rien de neuf.
Oui… Ce n'est pas la peine d'en parler !
1) Certaines approximations de π :
Depuis l'Antiquité jusqu'à aujourd'hui, on essaie de donner une approximation du nombre π.
Voici un tableau donnant une idée de l'évolution de ces approximations :
| Nom du mathématicien ou de la civilisation | Valeur de π | Nombre de décimales exactes | Date du calcul |
| Babylone | 3 + 1/8 ≈ 3,125 | 1 | - 1900 |
| Egypte | (4/3)4 ≈ 3,160 | 1 | - 1600 |
| Chine | 3 | 0 | - 1200 |
| Bible | 3 | 0 | - 550 |
| Archimède (grec) | 3,14185 | 3 | -250 |
| Hon Han Chu (chinois) | √10 ≈ 3,16 | 1 | 130 |
| Ptolémée (grec) | 377/120 ≈ 3,1416 | 3 | 150 |
| Wang Fau (chinois) | 142/45 ≈ 3,15 | 1 | 250 |
| Liu Hui (chinois) | 3,14159 | 5 | 260 |
| Tsu Chung Chih (chinois) | 355/113 ≈ 3,141592 | 6 | 480 |
| Aryabhata (indien) | 3,14156 | 4 | 500 |
| Brahmagupta (indien) | √10 ≈ 3,16 | 1 | 640 |
| Al Khwarizmi (arabe) | 22/7 ≈ 3,1428 ; 3,1416 | 3 | 800 |
| Fibonacci (italien) | 864/275 ≈ 3,1418 | 3 | 1220 |
| Al Kashi (arabe) |
| 16 | 1430 |
| Von Lauchen (allemand) | 3,14159265 | 8 | 1550 |
| Viète (français) | 3,1415926536 | 9 | 1593 |
| Romanus (hollandais) |
| 15 | 1593 |
| Van Ceulen (hollandais) |
| 34 | 1609 |
| Grienberger |
| 39 | 1630 |
| Sharp |
| 71 | 1699 |
| Machin (anglais) |
| 100 | 1706 |
| Dase (anglais) |
| 200 | 1844 |
| Shanks (anglais) |
| 528 | 1873 |
| Wrench et Fergusson |
| 808 | 1948 |
| Reitwiestner (Etats-Unis) |
| 2037 | 1949 |
| Genuys |
| 10 000 | 1958 |
| Wrench et Shanks |
| 100 265 | 1961 |
| Guilloud et Bouyer |
| 1 001 250 | 1973 |
| Kanada et Tamura |
| 1 073 741 799 | 1994 |
| Kanada et Takahashi |
| 50 milliards | 1997 |
| Equipe de Kanada (Japon) |
| 1241 milliards | 2002 |
On peut se demander quel est l'utilité d'une telle recherche des décimales du nombre π. Il y a des intérêts immédiats qui sont la recherche de nouveaux outils mathématiques, la mise au point d'algorithmes rapides et un très bon test pour juger de la puissance des ordinateurs. Mais, il y a sans doute l'envie même de la recherche de l'infini…
2) Exemples de méthodes pour trouver une valeur de π :
Le grec Archimède, en 250 avant JC, est le premier à donner une façon de calculer π. Il a écrit un traité sur la mesure du cercle où il calcule le rapport de la circonférence sur le diamètre.
Pour cela, il encadre un cercle par deux polygones réguliers, un qui sera inscrit dans le cercle et un autre qui sera exinscrit. Il calcule alors le périmètre de ces deux polygones réguliers et en fait la moyenne. Plus les polygones réguliers ont de côtés, plus la précision est grande.
Archimède utilisera des polygones de 96 côtés, il trouvera les 3 premières décimales exactes de π.
Jusqu'en 1600, on continue à utiliser la méthode d'Archimède mais avec un nombre impressionnant de côtés, plus d'un million pour le hollandais Van Ceulen en 1609.
Ensuite, on essaie de trouver des suites de nombres qui s'approchent du nombre π. Euler, Gauss, Machin, Newton et Viète ont cherché de telles suites.
L'une des plus célèbres est celle de l'allemand Leibniz, découverte vers 1680 :
π/4 = 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9 - 1/11 + 1/13 - 1/15.....
Il devient ainsi plus facile de calculer le nombre π.
A présent, on utilise le principe des suites, mais on bénéficie de l'aide de l'ordinateur et de sa formidable puissance de calcul.
3) Quelques curiosités à propos de π :
1/ Pour retenir les premières décimales de π, on peut apprendre par cœur quelques lignes d'un poème et compter le nombre de lettres de chaque mot :
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2/ π = PI, ses lettres sont un peu magiques :
| P ou π est la 16ème lettre de l'alphabet. | 16 = 4². |
| I est la 9ème lettre de l'alphabet. | 9 = 3². |
| La somme de 16 et 9 est 25. | 25 = 5². |
| Le produit de 16 et 25 est 144. | 144 = 12². |
| Le quotient : 9/16 = 0,5625. | 0,5625 = 0,75². |
3/ Le quotient 355 / 113, découvert par un chinois vers 480 après JC, qui donne 6 décimales exactes est aussi un peu magique.
355/113 a des chiffres dont la somme est 6.
3 + 3 = 6 ; 5 + 1 = 6 ; 5 + 1 = 6.
4/ Les mystiques se sont toujours demandé si π n'était pas un nombre divin.
4) Le nombre π et la vie quotidienne :
Le nombre π est celui que l'on rencontre le plus souvent dans la vie quotidienne et dans la nature puisque tout ce qui a une forme circulaire exige un calcul utilisant ce nombre que ce soit une longueur, une aire ou un volume.
Or, les planètes, les plantes, les animaux, les atomes ainsi que les constructions de l'homme ont besoin de modèles qui utilisent un moment le cercle ou l'arc de cercle et nécessitent l'usage du nombre π.
(jeu de 32 cartes)
Prenez votre jeu de cartes. Au préalable, placez la dame de cœur en 4ème position à partir du dessus. Annoncez que vous allez sortir la dame de coeur.
Demandez à un spectateur :
- de choisir un nombre N compris entre 5 et 20 ;
Posez alors une à une les cartes faces cachées, en dépassant le nombre N de 3 unités (si le nombre choisi est 7 allez jusqu'à 10). Excusez-vous, remettez le paquet réalisé au-dessus des autres cartes, et recommencez.
Là, en retournant la Nème carte, ce sera la dame de cœur !!!
Solution :
La Nème carte retournée sera la dame de cœur.
L'explication est simple :
On pose d'abord (N + 3) cartes.
Puis, on remet le paquet formé au dessus des autres cartes.
On recommence à poser N cartes.
N + 3 – N = 3.
Il restera en dessous parmi les cartes qui étaient au début du paquet 3 cartes.
La carte que l'on retourne en Nème position était en 4ème position au départ, c'était donc la dame de cœur.
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| 1 | 2 | 3 |
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| 4 | 5 | 6 |
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| 7 | 8 | 9 |
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| 10 | 15 | 20 |
Racine carrée :
La racine carrée de a (a est un nombre positif), notée √a, est le nombre positif qui, multiplié par lui-même, donne a.
Exemples : √64 = 8 ; √2 ≈ 1,414.
a et b étant des nombres positifs, on a :
(√a)² = a ; √a × √b = √(a × b) ; √a / √b = √(a / b) (si b ≠ 0).
Exemples : √45 = √(9 × 5) = √9 × √5 = 3 × √5 = 3√5.
√(9 / 16) = √9 / √16 = 3 / 4 .
Radical :
Un radical est un symbole √ utilisé pour l’écriture des racines carrées.
Exemple : √25 = 5.
Raisonnement :
Un raisonnement est un enchaînement logique de phrases mathématiques (hypothèses, définitions, propriétés, opérations....) en vue d’obtenir une conclusion.
Dans un raisonnement déductif, chaque phrase mathématique induit la suivante.
En principe, on recherche d’abord les hypothèses, on indique la bonne propriété ou définition du cours et on en déduit la conclusion.
Exemple : ABC est un triangle isocèle en A,
d’après la propriété : si un triangle est isocèle, alors il a deux côtés de même
longueur,
AB = AC.
Rapport :
Le rapport de a sur b, noté a : b, est le quotient de a par b.
Exemples : Le rapport de 3 sur 5 est 3 : 5 = 0,6.
En Physique, la masse volumique est le rapport de la masse sur le volume.
Rapporteur :
Un rapporteur est un instrument semi-circulaire gradué généralement en degrés qui sert à mesurer ou à représenter des angles.
Rayon :
Un rayon d’un cercle est un segment qui relie le centre du cercle à un point du cercle.
[OA] est un rayon.
Un cercle a une infinité de rayons.
Le rayon d’un cercle désigne aussi la distance du centre du cercle à l’un des points du cercle.
Un rayon d’une sphère est un segment qui relie le centre de la sphère à un point quelconque de cette sphère. 
Le rayon d’une sphère désigne aussi la distance du centre de la sphère à l’un des points de la sphère.
Réciproque d’une propriété :
La réciproque d’une propriété est obtenue à partir de cette propriété de départ en inversant une hypothèse et la conclusion.
Exemple : Propriété : Si un point appartient à la médiatrice d’un segment, alors il est à
égale distance des extrémités de ce segment.
Propriété réciproque : Si un point est à égale distance des extrémités d’un
segment, alors il appartient à la médiatrice de ce segment.
La réciproque d’une propriété n’est pas toujours vraie.
Exemple : Si a = b, alors a² = b².
Par contre, si a² = b², on n’a pas forcément a = b (on peut avoir a = - b).
Réciproque du théorème de Pythagore :
La réciproque du théorème de Pythagore dit que si ABC est un triangle tel que
BC² = AB² + AC², alors le triangle ABC est rectangle en A.
Exemple : AB = 3 cm ; AC = 4 cm ; BC = 5 cm.
AB² = 9 ; AC² = 16 ; BC² = 25.
On a : 25 = 9 + 16
BC² = AB² + AC².
D’après la réciproque du théorème de Pythagore,
ABC est un triangle rectangle en A.
Réciproque du théorème de Thalès :
La réciproque du théorème de Thalès dit que si ABC est un triangle ; A, M et B sont alignés dans cet ordre ; A, N et C sont alignés dans cet ordre et AM / AB = AN / AC,
alors (MN) // (BC).
Exemple : AM = 1,2 cm ; AN = 2,1 cm ; AB = 1,6 cm ; AC = 2,8 cm.
AM / AB = 1,2 / 1,6 = 0,75 ; AN / AC = 2,1 / 2,8 = 0,75.
ABC est un triangle,
A, M et B sont alignés dans cet ordre,
A, N et C sont alignés dans cet ordre,
AM / AB = AN / AC.
D’après la réciproque du théorème de Thalès,
(MN) // (BC).
Réciproque du théorème des milieux :
La réciproque du théorème des milieux dit que dans un triangle, si une droite passe par le milieu d’un côté en étant parallèle au second côté, alors elle coupe le troisième côté en son milieu.
Exemple : Dans le triangle ABC,
I est le milieu de [AB],
La parallèle à (BC) passant par I coupe (AC) en J.
D’après la réciproque du théorème des milieux,
(IJ) // (BC).
Rectangle :
Un rectangle est un quadrilatère qui a quatre angles droits.
Propriétés caractéristiques :
- Si un quadrilatère a quatre angles droits, alors c’est un rectangle.
- Si un parallélogramme a deux côtés perpendiculaires, alors c’est un rectangle.
- Si un parallélogramme a ses diagonales de même longueur, alors c’est un rectangle.
Réduction d’une expression :
Une réduction d’une expression algébrique est l’action de réduire cette expression.
Réduction d’une figure ou d’un solide:
Une réduction d’une figure ou d’un solide géométrique est une reproduction de cette figure ou de ce solide à une échelle strictement inférieure à 1.
Si les dimensions d’une figure plane ou d’un solide sont multipliées par k (0 < k <1), alors les aires sont multipliées par k², les volumes sont multipliés par k3.
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| La petite pyramide est une réduction de la grande. | Le petit cône est une réduction du grand. |
Réduire :
Réduire une expression algébrique, c’est regrouper ensemble les termes de même nature.
Exemples : 2x + 7 + 5x – 3 = 7x + 4.
(car 2x + 5x = 7x et + 7 – 3 = + 4)
5x² – 3x + 7x² – 8x = 12x² – 11x.
(car 5x² + 7x² = 12x² et – 3x – 8x = – 11x)
Réduire une figure géométrique, c’est la reproduire à une échelle plus petite.
Règle à calcul :
Une règle à calcul est un instrument qui permettait d’effectuer certains calculs assez rapidement. Elle était basée sur des fonctions que l’on étudie en classe de Terminale : les Logarithmes.
Règle de calcul :
Une règle de calcul est un nom donné à certains énoncés mathématiques en calcul numérique ou algébrique.
Exemple : Règle des signes :
- Le produit de deux nombres de même signe est un nombre positif.
- Le produit de deux nombres de signes différents est un nombre négatif.
5 × (– 7) = – 35 ; (– 3) × (– 4) = 12 ; – 8 × 2 = – 16 ; 4 × 6 = 24.
Règle de trois :
La règle de trois est une technique pour calculer le quatrième terme d’une proportion connaissant les trois autres.
Règle graduée :
Une règle graduée est un instrument qui sert à tracer des lignes droites et à mesurer des longueurs. 
Repérage :
Le repérage est l’action de repérer un point sur une droite graduée ou dans un plan.
Carl-Friedrich GAUSS (1777 – 1855), allemand :
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Carl-Friedrich Gauss est un astronome, mathématicien et physicien allemand, né à Brunswick et mort à 88 ans à Göttingen.
On le considère comme le plus grand mathématicien de tous les temps.
Il fut un initiateur au niveau de la rigueur, un grand novateur, un calculateur exceptionnel et un théoricien génial.
A 9 ans, il calcule la somme des 100 premiers nombres en quelques secondes, grâce à la formule :
1 + 2 + 3 + ......... + 100 = (100 × 101) / 2 = 5050.
Son professeur éberlué, lui prête tous ses livres, ce qui fait qu’à 11 ans, Gauss avait autant de connaissances qu’un élève de 15 ans. 
Il découvre, à 19 ans, le moyen de dessiner un polygone à 17 côtés avec un compas et une règle. Il démontre aussi qu’il est impossible d’en faire de même avec un à 7 côtés. C’est le premier progrès enregistré dans ce domaine depuis l’Antiquité.
A 24 ans, en 1801, il publie un livre qui demeure une bible de l’arithmétique moderne. Il détermine, la même année, la trajectoire de la planète Cérès (découverte par Piazzi).
On lui doit le magnétomètre, appareil qui sert à comparer les intensités et les champs magnétiques. Il s'occupa d'électricité. En 1807, il devient directeur de l’observatoire de Göttingen.
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A 32 ans, en 1809, Gauss perd sa femme et un fils. Il perdra aussi en 1831 sa deuxième femme et s’en ira un moment en Amérique.
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Ses travaux concernent toutes les branches des mathématiques : l’analyse, l’algèbre, la géométrie, les statistiques, les probabilités…
En mathématiques, il travaille sur les nombres a + ib où a et b sont des entiers, dits nombres complexes. La généralisation de ces nombres (i² = -1) conduisit à d'autres notions du nombre et au calcul vectoriel.
Gauss démontre, à 22 ans, le théorème fondamental de l’algèbre énoncé par d’Alembert : grâce à ces nombres complexes, il pourra factoriser n’importe quel polynôme.
Gauss pense qu’il existe des géométries non euclidiennes où il existerait plusieurs droites parallèles à une droite passant par un point et où la somme des angles d’un triangle serait inférieure à 180°. Craignant le ridicule, il ne publiera pas ses travaux et laissera à d’autres le soin de le prouver. Il cesse de travailler professionnellement en 1840, se consacre au magnétisme terrestre et meurt en 1855 durant son sommeil.
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Emile CHARTIER, dit ALAIN (1868-1951)
Extrait de Propos
Si vous considérez la mathématique comme une pratique, vous avez cent fois raison. On peut compter sans penser et manier l’algèbre sans penser. (…) C’est la géométrie qui sauve l’algèbre. (…) J’ai toujours pensé que la mathématique ainsi prise est la meilleure école de l’observation ; je ne suis pas loin de penser que c’est la seule.
Jules SUPERVIELLE (1884-1960)
Extrait
Quarante enfants dans une salle
Un tableau noir et son triangle
Un grand cercle hésitant et sourd
Son centre bat comme un tambour
Des lettres sans mots ni patrie
Dans une attente endolorie
Le parapet dur d’un trapèze,
Une voix s’élève et s’apaise
Et le problème furieux
Se tortille et se mord la queue
La mâchoire d’un angle s’ouvre
Est-ce une chienne ? Est-ce une louve ?
Et tous les chiffres de la terre,
Tous ces insectes qui défont
Et qui refont leur fourmilière
Sous les yeux fixes des garçons.
Marcel PAGNOL (1895-1974)
Extrait
Quelquefois, lorsqu’un élève lui posait une question, M. Cros essayait une explication (…). il déclamait, du haut de son estrade :
« La circonférence est fière
D’être égale à 2πR ;
Et le cercle est tout joyeux
D’être égal à πR 2 . »
Et il souriait. Comme pour dire : « Puisque vous êtes des littéraires, je vous donne de la poésie ».
(…) Il disait aussi :
« Le volume de la sphère,
Quoi que l’on puisse faire,
Est égal à 4/3 πR 3. » (…)
« La sphère fût-elle de bois. »
Il donnait une grande importance à ce vers final ; il le lançait avec une sorte de sévérité triomphale. Mais il ne s’adressait plus à nous : il parlait à la Sphère Elle-même.
Antoine de SAINT-EXUPERY (1900-1944)
Extrait du Petit prince
Les grandes personnes aiment les chiffres. Quand vous leur parlez d’un nouvel ami, elles ne vous questionnent jamais sur l’essentiel. Elles ne vous disent jamais : « Quel est le son de sa voix ? Quels sont les jeux qu’il préfère ? Est-ce qu’il collectionne les papillons ? ».
Elles vous demandent : « Quel âge a-t-il ? Combien a-t-il de frères ? Combien pèse-t-il ? Combien gagne son père ? ». Alors seulement, elles croient le connaître. Si vous dites aux grandes personnes : « J’ai vu une belle maison en briques roses, avec des géraniums aux fenêtres et des colombes sur le toit… », elles ne parviennent pas à s’imaginer cette maison. Il faut leur dire : « J’ai vu une maison de cent mille francs ». Alors, elles s’écrient : « Comme c’est joli ! ».
Jacques PREVERT (1900-1977)
Extrait d’Histoires
Le client : Garçon, l’addition !
Le garçon : Voilà. (Il sort son crayon et note). Vous avez…deux œufs durs, un veau, un petit pois, une asperge, un fromage avec beurre, une amande verte, un café filtre, un téléphone.
Le client : Et puis des cigarettes !
Le garçon : C’est ça même… des cigarettes… Alors ça fait…
Le client : N’insistez pas, mon ami, c’est inutile, vous ne réussirez jamais.
Le garçon : !!!
Le client : On ne vous a donc pas appris à l’école que c’est ma-thé-ma-ti-que-ment impossible d’additionner des choses d’espèces différentes !
Le garçon : !!!
Le client : (élevant la voix) Enfin, tout de même, de qui se moque-t-on ?… Il faut réellement être insensé pour oser essayer de tenter d’ « additionner » un veau avec des cigarettes, des cigarettes avec un café filtre, un café filtre avec une amande verte et des œufs durs avec des petits pois, des petits pois avec un téléphone (…). (Il se lève) Non, mon ami, croyez-moi, ne vous fatiguez pas, ça ne donnera rien, vous entendez, rien, absolument rien…, pas même le pourboire !.
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Tout ce qui rime avec les mathématiques, les productions de Jean-Luc ROMET
et les rubriques du site MATHS-ROMETUS
Dessins : Wilfried LEMIEUX ; conception graphique : Johann SOLON
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