Nombres remarquables : Nombre Pi et curiosités

1) Certaines approximations de π :

Depuis l'Antiquité jusqu'à aujourd'hui, on essaie de donner une approximation du nombre π.

Voici un tableau donnant une idée de l'évolution de ces approximations :

On peut se demander quel est l'utilité d'une telle recherche des décimales du nombre π. Il y a des intérêts immédiats qui sont la recherche de nouveaux outils mathématiques, la mise au point d'algorithmes rapides et un très bon test pour juger de la puissance des ordinateurs. Mais, il y a sans doute l'envie même de la recherche de l'infini…

2) Exemples de méthodes pour trouver une valeur de π :

Le grec Archimède, en 250 avant JC, est le premier à donner une façon de calculer π. Il a écrit un traité sur la mesure du cercle où il calcule le rapport de la circonférence sur le diamètre.

Pour cela, il encadre un cercle par deux polygones réguliers, un qui sera inscrit dans le cercle et un autre qui sera exinscrit. Il calcule alors le périmètre de ces deux polygones réguliers et en fait la moyenne. Plus les polygones réguliers ont de côtés, plus la précision est grande.

Archimède utilisera des polygones de 96 côtés, il trouvera les 3 premières décimales exactes de π.

Jusqu'en 1600, on continue à utiliser la méthode d'Archimède mais avec un nombre impressionnant de côtés, plus d'un million pour le hollandais Van Ceulen en 1609.

Ensuite, on essaie de trouver des suites de nombres qui s'approchent du nombre π. Euler, Gauss, Machin, Newton et Viète ont cherché de telles suites.

L'une des plus célèbres est celle de l'allemand Leibniz, découverte vers 1680 :

π/4 = 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9 - 1/11 + 1/13 - 1/15.....

Il devient ainsi plus facile de calculer le nombre π.

A présent, on utilise le principe des suites, mais on bénéficie de l'aide de l'ordinateur et de sa formidable puissance de calcul.

3) Quelques curiosités à propos de π :

1/ Pour retenir les premières décimales de π, on peut apprendre par cœur quelques lignes d'un poème et compter le nombre de lettres de chaque mot :

2/ π = PI, ses lettres sont un peu magiques :

3/ Le quotient 355 / 113, découvert par un chinois vers 480 après JC, qui donne 6 décimales exactes est aussi un peu magique.

355/113 a des chiffres dont la somme est 6. 

3 + 3 = 6   ;   5 + 1 = 6   ;   5 + 1 = 6.

4/ Les mystiques se sont toujours demandé si π n'était pas un nombre divin.

4) Le nombre π et la vie quotidienne :

Le nombre π est celui que l'on rencontre le plus souvent dans la vie quotidienne et dans la nature puisque tout ce qui a une forme circulaire exige un calcul utilisant ce nombre que ce soit une longueur, une aire ou un volume.

Or, les planètes, les plantes, les animaux, les atomes ainsi que les constructions de l'homme ont besoin de modèles qui utilisent un moment le cercle ou l'arc de cercle et nécessitent l'usage du nombre π.