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31 janvier 2016 7 31 /01 /janvier /2016 09:19

1) Certaines approximations de π :

 

Depuis l'Antiquité jusqu'à aujourd'hui, on essaie de donner une approximation du nombre π.

 

Voici un tableau donnant une idée de l'évolution de ces approximations :

 

Nom du mathématicien

ou de la civilisation

Valeur de π

Nombre de

décimales

exactes

Date du

calcul

Babylone

3 + 1/8 ≈ 3,125

1

- 1900

Egypte

(4/3)43,160

1

- 1600

Chine

3

0

- 1200

Bible

3

0

- 550

Archimède (grec)

3,14185

3

-250

Hon Han Chu (chinois)

√10 ≈ 3,16

1

130

Ptolémée (grec)

377/120 ≈ 3,1416

3

150

Wang Fau (chinois)

142/45 ≈ 3,15

1

250

Liu Hui (chinois)

3,14159

5

260

Tsu Chung Chih (chinois)

355/113 ≈ 3,141592

6

480

Aryabhata (indien)

3,14156

4

500

Brahmagupta (indien)

√10 ≈ 3,16

1

640

Al Khwarizmi (arabe)

22/7 ≈ 3,1428 ; 3,1416

3

800

Fibonacci (italien)

864/275 ≈ 3,1418

3

1220

Al Kashi (arabe)

 

16

1430

Von Lauchen (allemand)

3,14159265

8

1550

Viète (français)

3,1415926536

9

1593

Romanus (hollandais)

 

15

1593

Van Ceulen (hollandais)

 

34

1609

Grienberger

 

39

1630

Sharp

 

71

1699

Machin (anglais)

 

100

1706

Dase (anglais)

 

200

1844

Shanks (anglais)

 

528

1873

Wrench et Fergusson

 

808

1948

Reitwiestner (Etats-Unis)

 

2037

1949

Genuys

 

10 000

1958

Wrench et Shanks

 

100 265

1961

Guilloud et Bouyer

 

1 001 250

1973

Kanada et Tamura

 

1 073 741 799

1994

Kanada et Takahashi

 

50 milliards

1997

Equipe de Kanada (Japon)

 

1241 milliards

2002

 

On peut se demander quel est l'utilité d'une telle recherche des décimales du nombre π. Il y a des intérêts immédiats qui sont la recherche de nouveaux outils mathématiques, la mise au point d'algorithmes rapides et un très bon test pour juger de la puissance des ordinateurs. Mais, il y a sans doute l'envie même de la recherche de l'infini…

 

 

2) Exemples de méthodes pour trouver une valeur de π :

 

Le grec Archimède, en 250 avant JC, est le premier à donner une façon de calculer π. Il a écrit un traité sur la mesure du cercle où il calcule le rapport de la circonférence sur le diamètre.

Pour cela, il encadre un cercle par deux polygones réguliers, un qui sera inscrit dans le cercle et un autre qui sera exinscrit. Il calcule alors le périmètre de ces deux polygones réguliers et en fait la moyenne. Plus les polygones réguliers ont de côtés, plus la précision est grande.

Archimède utilisera des polygones de 96 côtés, il trouvera les 3 premières décimales exactes de π.

Jusqu'en 1600, on continue à utiliser la méthode d'Archimède mais avec un nombre impressionnant de côtés, plus d'un million pour le hollandais Van Ceulen en 1609.

 

Ensuite, on essaie de trouver des suites de nombres qui s'approchent du nombre π. Euler, Gauss, Machin, Newton et Viète ont cherché de telles suites.

L'une des plus célèbres est celle de l'allemand Leibniz, découverte vers 1680 :

π/4 = 1 - 1/3 + 1/5 - 1/7 + 1/9 - 1/11 + 1/13 - 1/15.....

 

Il devient ainsi plus facile de calculer le nombre π.

 

A présent, on utilise le principe des suites, mais on bénéficie de l'aide de l'ordinateur et de sa formidable puissance de calcul.

 

 

3) Quelques curiosités à propos de π :

 

1/ Pour retenir les premières décimales de π, on peut apprendre par cœur quelques lignes d'un poème et compter le nombre de lettres de chaque mot :

   

Que

j'

aime

à

faire

apprendre

un

nombre

utile

3,

1

4

1

5

9

2

6

5

 

aux

sages,

glorieux

Archimède,

artiste

ingénieux,

3

5

8

9

7

9

 

toi

de

qui

Syracuse

aime

encore

la

gloire.

3

2

3

8

4

6

2

6

 

Soit

ton

nom

conservé

par

de

savants

grimoires.

4

3

3

8

3

2

7

9

 

 

2/ π = PI, ses lettres sont un peu magiques :

 

P ou π est la 16ème lettre de l'alphabet.

16 = 4².

I est la 9ème lettre de l'alphabet.

9 = 3².

La somme de 16 et 9 est 25.

25 = 5².

Le produit de 16 et 25 est 144.

144 = 12².

Le quotient : 9/16 = 0,5625.

0,5625 = 0,75².

 

3/ Le quotient 355 / 113, découvert par un chinois vers 480 après JC, qui donne 6 décimales exactes est aussi un peu magique.

 

355/113 a des chiffres dont la somme est 6. 

3 + 3 = 6   ;   5 + 1 = 6   ;   5 + 1 = 6.

 

4/ Les mystiques se sont toujours demandé si π n'était pas un nombre divin.

 

 

4) Le nombre π et la vie quotidienne :

 

Le nombre π est celui que l'on rencontre le plus souvent dans la vie quotidienne et dans la nature puisque tout ce qui a une forme circulaire exige un calcul utilisant ce nombre que ce soit une longueur, une aire ou un volume.

Or, les planètes, les plantes, les animaux, les atomes ainsi que les constructions de l'homme ont besoin de modèles qui utilisent un moment le cercle ou l'arc de cercle et nécessitent l'usage du nombre π.

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Published by Jean-Luc ROMET - dans Nombres en maths
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