Le blog mathematique du professeur ROMETUS

8 février 2015 7 08 /02 /février /2015 10:53

Dictionnaire : de Racine carrée à Repérage

Racine carrée :

La racine carrée de a (a est un nombre positif), notée √a, est le nombre positif qui, multiplié par lui-même, donne a.

Exemples : √64 = 8 ; √2 ≈ 1,414.

a et b étant des nombres positifs, on a :

(√a)² = a ; √a × √b = √(a × b) ; √a / √b = √(a / b) (si b ≠ 0).

Exemples : √45 = √(9 × 5) = √9 × √5 = 3 × √5 = 3√5.

√(9 / 16) = √9 / √16 = 3 / 4 .

Radical :

Un radical est un symbole √ utilisé pour l’écriture des racines carrées.

Exemple : √25 = 5.

Raisonnement :

Un raisonnement est un enchaînement logique de phrases mathématiques (hypothèses, définitions, propriétés, opérations....) en vue d’obtenir une conclusion.

Dans un raisonnement déductif, chaque phrase mathématique induit la suivante.

En principe, on recherche d’abord les hypothèses, on indique la bonne propriété ou définition du cours et on en déduit la conclusion.

Exemple : ABC est un triangle isocèle en A,

d’après la propriété : si un triangle est isocèle, alors il a deux côtés de même

longueur,

AB = AC.

Rapport :

Le rapport de a sur b, noté a : b, est le quotient de a par b.

Exemples : Le rapport de 3 sur 5 est 3 : 5 = 0,6.

En Physique, la masse volumique est le rapport de la masse sur le volume.

Rapporteur :

Un rapporteur est un instrument semi-circulaire gradué généralement en degrés qui sert à mesurer ou à représenter des angles.

R 01

Rayon :

Un rayon d’un cercle est un segment qui relie le centre du cercle à un point du cercle.

R 02

[OA] est un rayon.

Un cercle a une infinité de rayons.

Le rayon d’un cercle désigne aussi la distance du centre du cercle à l’un des points du cercle.

Un rayon d’une sphère est un segment qui relie le centre de la sphère à un point quelconque de cette sphère. R 03

Le rayon d’une sphère désigne aussi la distance du centre de la sphère à l’un des points de la sphère.

Réciproque d’une propriété :

La réciproque d’une propriété est obtenue à partir de cette propriété de départ en inversant une hypothèse et la conclusion.

Exemple : Propriété : Si un point appartient à la médiatrice d’un segment, alors il est à

égale distance des extrémités de ce segment.

Propriété réciproque : Si un point est à égale distance des extrémités d’un

segment, alors il appartient à la médiatrice de ce segment.

La réciproque d’une propriété n’est pas toujours vraie.

Exemple : Si a = b, alors a² = b².

Par contre, si a² = b², on n’a pas forcément a = b (on peut avoir a = - b).

Réciproque du théorème de Pythagore :

La réciproque du théorème de Pythagore dit que si ABC est un triangle tel que

BC² = AB² + AC², alors le triangle ABC est rectangle en A.

R 04

Exemple : AB = 3 cm ; AC = 4 cm ; BC = 5 cm.

AB² = 9 ; AC² = 16 ; BC² = 25.

On a : 25 = 9 + 16

BC² = AB² + AC².

D’après la réciproque du théorème de Pythagore,

ABC est un triangle rectangle en A.

Réciproque du théorème de Thalès :

La réciproque du théorème de Thalès dit que si ABC est un triangle ; A, M et B sont alignés dans cet ordre ; A, N et C sont alignés dans cet ordre et AM / AB = AN / AC,

alors (MN) // (BC).

R 05

Exemple : AM = 1,2 cm ; AN = 2,1 cm ; AB = 1,6 cm ; AC = 2,8 cm.

AM / AB = 1,2 / 1,6 = 0,75 ; AN / AC = 2,1 / 2,8 = 0,75.

ABC est un triangle,

A, M et B sont alignés dans cet ordre,

A, N et C sont alignés dans cet ordre,

AM / AB = AN / AC.

D’après la réciproque du théorème de Thalès,

(MN) // (BC).

Réciproque du théorème des milieux :

La réciproque du théorème des milieux dit que dans un triangle, si une droite passe par le milieu d’un côté en étant parallèle au second côté, alors elle coupe le troisième côté en son milieu.

R 06

Exemple : Dans le triangle ABC,

I est le milieu de [AB],

La parallèle à (BC) passant par I coupe (AC) en J.

D’après la réciproque du théorème des milieux,

(IJ) // (BC).

Rectangle :

Un rectangle est un quadrilatère qui a quatre angles droits.

R 07

Propriétés caractéristiques :

- Si un quadrilatère a quatre angles droits, alors c’est un rectangle.

- Si un parallélogramme a deux côtés perpendiculaires, alors c’est un rectangle.

- Si un parallélogramme a ses diagonales de même longueur, alors c’est un rectangle.

Réduction d’une expression :

Une réduction d’une expression algébrique est l’action de réduire cette expression.

Réduction d’une figure ou d’un solide:

Une réduction d’une figure ou d’un solide géométrique est une reproduction de cette figure ou de ce solide à une échelle strictement inférieure à 1.

R 08

Si les dimensions d’une figure plane ou d’un solide sont multipliées par k (0 < k <1), alors les aires sont multipliées par k², les volumes sont multipliés par k³.

La petite pyramide est une

réduction de la grande.

Le petit cône est une

réduction du grand.

Réduire :

Réduire une expression algébrique, c’est regrouper ensemble les termes de même nature.

Exemples : 2x + 7 + 5x – 3 = 7x + 4.

(car 2x + 5x = 7x et + 7 – 3 = + 4)

5x² – 3x + 7x² – 8x = 12x² – 11x.

(car 5x² + 7x² = 12x² et – 3x – 8x = – 11x)

Réduire une figure géométrique, c’est la reproduire à une échelle plus petite.

Règle à calcul :

Une règle à calcul est un instrument qui permettait d’effectuer certains calculs assez rapidement. Elle était basée sur des fonctions que l’on étudie en classe de Terminale : les Logarithmes.

Règle de calcul :

Une règle de calcul est un nom donné à certains énoncés mathématiques en calcul numérique ou algébrique.

Exemple : Règle des signes :

- Le produit de deux nombres de même signe est un nombre positif.

- Le produit de deux nombres de signes différents est un nombre négatif.

5 × (– 7) = – 35 ; (– 3) × (– 4) = 12 ; – 8 × 2 = – 16 ; 4 × 6 = 24.

Règle de trois :

La règle de trois est une technique pour calculer le quatrième terme d’une proportion connaissant les trois autres.

Règle graduée :

Une règle graduée est un instrument qui sert à tracer des lignes droites et à mesurer des longueurs. R 11

Repérage :

Le repérage est l’action de repérer un point sur une droite graduée ou dans un plan.

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23 janvier 2015 5 23 /01 /janvier /2015 16:54

Grands mathématiciens : Gauss

Carl-Friedrich GAUSS (1777 – 1855), allemand :

Carl-Friedrich Gauss est un astronome, mathématicien et physicien allemand, né à Brunswick et mort à 88 ans à Göttingen.

On le considère comme le plus grand mathématicien de tous les temps.

Il fut un initiateur au niveau de la rigueur, un grand novateur, un calculateur exceptionnel et un théoricien génial.

A 9 ans, il calcule la somme des 100 premiers nombres en quelques secondes, grâce à la formule :

1 + 2 + 3 + ......... + 100 = (100 × 101) / 2 = 5050.

Son professeur éberlué, lui prête tous ses livres, ce qui fait qu’à 11 ans, Gauss avait autant de connaissances qu’un élève de 15 ans. Gauss 02

Il découvre, à 19 ans, le moyen de dessiner un polygone à 17 côtés avec un compas et une règle. Il démontre aussi qu’il est impossible d’en faire de même avec un à 7 côtés. C’est le premier progrès enregistré dans ce domaine depuis l’Antiquité.

Gauss 03

A 24 ans, en 1801, il publie un livre qui demeure une bible de l’arithmétique moderne. Il détermine, la même année, la trajectoire de la planète Cérès (découverte par Piazzi).

Gauss 04

On lui doit le magnétomètre, appareil qui sert à comparer les intensités et les champs magnétiques. Il s'occupa d'électricité. En 1807, il devient directeur de l’observatoire de Göttingen.

A 32 ans, en 1809, Gauss perd sa femme et un fils. Il perdra aussi en 1831 sa deuxième femme et s’en ira un moment en Amérique.

Ses travaux concernent toutes les branches des mathématiques : l’analyse, l’algèbre, la géométrie, les statistiques, les probabilités…

En mathématiques, il travaille sur les nombres a + ib où a et b sont des entiers, dits nombres complexes. La généralisation de ces nombres (i² = -1) conduisit à d'autres notions du nombre et au calcul vectoriel.

Gauss démontre, à 22 ans, le théorème fondamental de l’algèbre énoncé par d’Alembert : grâce à ces nombres complexes, il pourra factoriser n’importe quel polynôme.

Gauss pense qu’il existe des géométries non euclidiennes où il existerait plusieurs droites parallèles à une droite passant par un point et où la somme des angles d’un triangle serait inférieure à 180°. Craignant le ridicule, il ne publiera pas ses travaux et laissera à d’autres le soin de le prouver. Il cesse de travailler professionnellement en 1840, se consacre au magnétisme terrestre et meurt en 1855 durant son sommeil.

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19 décembre 2014 5 19 /12 /décembre /2014 20:27

Sudoku : de niveau moyen

Complète ce sudoku :

de niveau moyen :

	9	6			3	5
8					6	1
				9				3
				3				6
9					1	2
	5	4			7	3
	7	8	5				6
1
	4	2	3				8

Solutions :

de niveau moyen :

4	9	6	1	7	3	5	2	8
8	3	7	2	5	6	1	9	4
2	1	5	4	9	8	6	7	3
7	2	1	9	3	5	8	4	6
9	8	3	6	4	1	2	5	7
6	5	4	8	2	7	3	1	9
3	7	8	5	1	4	9	6	2
1	6	9	7	8	2	4	3	5
5	4	2	3	6	9	7	8	1

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2 novembre 2014 7 02 /11 /novembre /2014 08:01

Textes littéraires avec des maths : de 1 900 à 1 950 ap JC

Emile CHARTIER, dit ALAIN (1868-1951)

Extrait de Propos

Si vous considérez la mathématique comme une pratique, vous avez cent fois raison. On peut compter sans penser et manier l’algèbre sans penser. (…) C’est la géométrie qui sauve l’algèbre. (…) J’ai toujours pensé que la mathématique ainsi prise est la meilleure école de l’observation ; je ne suis pas loin de penser que c’est la seule.

Jules SUPERVIELLE (1884-1960)

Extrait

Quarante enfants dans une salle

Un tableau noir et son triangle

Un grand cercle hésitant et sourd

Son centre bat comme un tambour

Des lettres sans mots ni patrie

Dans une attente endolorie

Le parapet dur d’un trapèze,

Une voix s’élève et s’apaise

Et le problème furieux

Se tortille et se mord la queue

La mâchoire d’un angle s’ouvre

Est-ce une chienne ? Est-ce une louve ?

Et tous les chiffres de la terre,

Tous ces insectes qui défont

Et qui refont leur fourmilière

Sous les yeux fixes des garçons.

Marcel PAGNOL (1895-1974)

Extrait

Quelquefois, lorsqu’un élève lui posait une question, M. Cros essayait une explication (…). il déclamait, du haut de son estrade :

« La circonférence est fière

D’être égale à 2πR ;

Et le cercle est tout joyeux

D’être égal à πR ² . »

Et il souriait. Comme pour dire : « Puisque vous êtes des littéraires, je vous donne de la poésie ».

(…) Il disait aussi :

« Le volume de la sphère,

Quoi que l’on puisse faire,

Est égal à 4/3 πR ³. » (…)

« La sphère fût-elle de bois. »

Il donnait une grande importance à ce vers final ; il le lançait avec une sorte de sévérité triomphale. Mais il ne s’adressait plus à nous : il parlait à la Sphère Elle-même.

Antoine de SAINT-EXUPERY (1900-1944)

Extrait du Petit prince

Les grandes personnes aiment les chiffres. Quand vous leur parlez d’un nouvel ami, elles ne vous questionnent jamais sur l’essentiel. Elles ne vous disent jamais : « Quel est le son de sa voix ? Quels sont les jeux qu’il préfère ? Est-ce qu’il collectionne les papillons ? ».

Elles vous demandent : « Quel âge a-t-il ? Combien a-t-il de frères ? Combien pèse-t-il ? Combien gagne son père ? ». Alors seulement, elles croient le connaître. Si vous dites aux grandes personnes : « J’ai vu une belle maison en briques roses, avec des géraniums aux fenêtres et des colombes sur le toit… », elles ne parviennent pas à s’imaginer cette maison. Il faut leur dire : « J’ai vu une maison de cent mille francs ». Alors, elles s’écrient : « Comme c’est joli ! ».

Jacques PREVERT (1900-1977)

Extrait d’Histoires

Le client : Garçon, l’addition !

Le garçon : Voilà. (Il sort son crayon et note). Vous avez…deux œufs durs, un veau, un petit pois, une asperge, un fromage avec beurre, une amande verte, un café filtre, un téléphone.

Le client : Et puis des cigarettes !

Le garçon : C’est ça même… des cigarettes… Alors ça fait…

Le client : N’insistez pas, mon ami, c’est inutile, vous ne réussirez jamais.

Le garçon : !!!

Le client : On ne vous a donc pas appris à l’école que c’est ma-thé-ma-ti-que-ment impossible d’additionner des choses d’espèces différentes !

Le garçon : !!!

Le client : (élevant la voix) Enfin, tout de même, de qui se moque-t-on ?… Il faut réellement être insensé pour oser essayer de tenter d’ « additionner » un veau avec des cigarettes, des cigarettes avec un café filtre, un café filtre avec une amande verte et des œufs durs avec des petits pois, des petits pois avec un téléphone (…). (Il se lève) Non, mon ami, croyez-moi, ne vous fatiguez pas, ça ne donnera rien, vous entendez, rien, absolument rien…, pas même le pourboire !.

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3 octobre 2014 5 03 /10 /octobre /2014 10:07

Nombres remarquables : Nombre Pi

1) Définition de π :

C'est le nombre par lequel il faut multiplier le diamètre du cercle pour obtenir sa circonférence. Autrement dit, c'est le rapport de la circonférence du cercle par son diamètre.

Le périmètre du cercle est P = π x d où d est le diamètre.

On a aussi P = 2 x π x r où r est le rayon du cercle.

2) Origine de la lettre π :

Ce rapport de la circonférence du cercle par son diamètre ne porta pas de nom pendant des siècles.

Ludolph von Ceulen (vers 1600), William Oughtred (en 1647), Isaac Barrow (en 1670) utilisent la lettre π pour désigner le périmètre d'un cercle de diamètre 1.

C'est l'anglais William Jones, en 1706, qui utilise la lettre π en premier pour représenter le rapport de la circonférence du cercle par son diamètre.

π est le première lettre du mot grec "periphereia" (circonférence) et de "perimetros" (périmètre).

Ce nom est adopté et vulgarisé par le suisse Leonhard Euler en 1748.

3) L'étude de π en tant que nombre :

C'est seulement au XVII^ème siècle que ce rapport, pour lequel on donnait déjà des valeurs approchées, commence à être considéré comme un nombre.

En 1761, le suisse Lambert démontre que π est irrationnel, c'est à dire qu'on ne pourra jamais l'écrire sous la forme d'une fraction de deux nombres entiers.

En 1882, l'allemand Ferdinand von Lindemann démontre que π est transcendant, c'est à dire qu'il n'est solution d'aucune équation algébrique avec des coefficients entiers. Il établit donc enfin l'impossibilité de la fameuse "quadrature du cercle" (problème qui se pose depuis l'Antiquité).

4) Les cent premières décimales de π :

π ≈ 3,	14159	26535	89793	23846	26433	83279	50288	41971	69399	37510
	58209	74944	59230	78164	06286	20899	86280	34825	34211	70679

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11 septembre 2014 4 11 /09 /septembre /2014 10:31

Magie avec des cartes : Voilà la carte choisie

(jeu de 32 cartes)

Demandez à un spectateur :

- de choisir un nombre N compris entre 20 et 29 ;

- de faire un tas de N cartes ;

- d' ajouter les deux chiffres qui composent ce nombre ;

- de regarder la carte située à cette position à partir du dessous de son paquet ;

- de remettre la carte à sa place et de replacer sous le paquet le reste du jeu.

Prenez alors l'ensemble du jeu, faces cachées, et jetez les cartes au fur et à mesure que vous épelez : "V-O-I-L-A L-A C-A-R-T-E C-H-O-I-S-I-E".

Vous retournez la dernière carte. C'est la bonne !!!

Solution :

La carte regardée sera toujours la 19^ème carte.

Or, la phrase "V-O-I-L-A L-A C-A-R-T-E C-H-O-I-S-I-E" comprend 19 lettres. Cette carte est donc la bonne.

L'explication est simple :

Le spectateur choisit un nombre entre 20 et 29.

Ce nombre est de la forme 2a = 20 + a.

Il fait la somme des deux chiffres qui composent ce nombre, soit 2 + a.

Comme il regarde la carte située à cette position à partir du dessous de son paquet, il y aura au-dessus de cette carte 20 + a – (2 + a) = 20 + a – 2 – a = 18 cartes.

Cette carte est donc située en 19^ème position.

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8 août 2014 5 08 /08 /août /2014 13:39

Illusion d'optique : Monuments auto contradictoires : ont-ils 2 ou 3 colonnes ?

17-Les monuments auto-contradictoires 2 ou 3 colonnes

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4 juillet 2014 5 04 /07 /juillet /2014 05:44

Les mathématiciens en timbres : de NEWTON à TURING


NEWTON Isaac (1642 – 1727)	PACIOLI Lucas (1445 – 1517)	PASCAL Blaise (1623 – 1662)

POINCARE Henri (1854 – 1912)	PYTHAGORE (569 avant JC – vers 500 avant JC)	RAMANUJAN Srinivasa (1887 – 1920)

STEVIN Simon (1548 – 1620)	SYLVESTRE II (938 – 1003)	THALES (624 avant JC – 546 avant JC)

TORICELLI Evangelista (1608 – 1647)	TSU CH'UNG-CHIH (430 – 501)	TURING (1912 – 1954)

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15 juin 2014 7 15 /06 /juin /2014 08:04

Dictionnaire : de Quadrant à Quotient

Quadrant :

Un quadrant est une des quatre parties déterminées par un repère orthogonal dans un plan.

Q 01

Quadrilatère :

Un quadrilatère est un polygone qui a quatre côtés.

Q 02

A, B, C et D sont les sommets.

[AB], [BC], [CD] et [DA] sont les côtés.

[AC] et [BD] sont les diagonales.

Les trapèzes, les parallélogrammes, les rectangles, les losanges et les carrés sont des quadrilatères particuliers.

Quadrillage :

Un quadrillage est un ensemble de lignes qui divisent le plan en carrés.

Q 03

Quarante :

Quarante est un nombre qui s’écrit 40.

Exemple : Pour les catholiques, le carême dure quarante jours.

Quart :

Un quart est une partie d’un groupe partagé en quatre unités.

Quatorze :

Quatorze est un nombre qui s’écrit 14.

Exemple : A la belote, le neuf d’atout vaut quatorze points.

Quatre :

Quatre est un chiffre qui s’écrit 4.

Exemple : Un chien a quatre pattes.

Quatrième proportionnelle :

La quatrième proportionnelle est le quatrième terme d’une proportion dans laquelle on connaît les trois autres.

S₁	a	b
S₂	c	d

Dans le tableau de proportionnalité suivant,

on a l’égalité des produits en croix : a × d = b × c.

a, b, c et d sont quatre nombres non nuls.

On déduit : a = (b × c) : d ; b = (a × d) : c ; c = (a × d) : b ; d = (b × c) : a.

La technique de calcul était anciennement la « règle de trois ». Il y avait une variante dans la manière de disposer les calculs.

Exemple : 8 kg de pommes coûtent 10 €.

Calculons le prix de 5 kg de pommes.

masse de pommes (kg)	8	5
prix (€)	10	x

8 × x = 10 × 5

8 × x = 50

x = 50 / 8

x = 6,25

Le prix de 5 kg de pommes est 6,25 €.

Quintal :

Un quintal est une unité de mesure de masse équivalant à 100 kg.

Symbole : q.

Quinze :

Quinze est un nombre qui s’écrit 15.

Exemple : Au tournoi des six nations, les équipes de rugby ont quinze joueurs.

Quotient :

Un quotient est le résultat d’une division.

Un quotient euclidien est le quotient d’une division euclidienne.

Exemple : Q 06

6 est le quotient euclidien de 52 par 8.

Un quotient exact est le quotient lorsque le reste de la division est nul.

Exemple : Q 07

2,1 est le quotient exact de 10,5 par 5.

Lorsque le reste de la division n’est pas nul, on peut donner un quotient approché de la division.

Exemple : Q 08

20 : 11 ≈ 1,81.

1,81 est un quotient approché à 0,01 près de 20 par 11.

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3 mai 2014 6 03 /05 /mai /2014 10:45

Grands mathématiciens : Galois

Evariste GALOIS (1811 – 1832), français :

Galois 00

Evariste Galois est un mathématicien français né à Bourg-La-Reine en 1811.

A 15 ans, il étudie les travaux des grands mathématiciens.

Galois 01

A 18 ans, il publie ses premiers ouvrages (fractions, équations, racines carrées).

Galois 02

C’est à ce moment là qu’il découvre un critère pour résoudre des équations par des racines en développant la théorie des groupes.

Il présente alors son important travail à l’Académie des Sciences.

Il entre en 1829 à l’école normale mais se fait expulser en 1831 pour avoir reproché au directeur ses positions contre-révolutionnaires…

Galois 03

Pour des raisons politiques, à cause de ses propos républicains, il passe pratiquement ses derniers 18 mois en prison.

Galois 04

Lors d’un duel, à 21 ans, il prend un coup de pistolet et meurt à l’hôpital Cochin en 1832.

Galois 05

Il rédige, pendant la nuit qui précède sa mort, une esquisse de ses conceptions mathématiques. Ses 60 pages ont une portée exceptionnelle sur les méthodes de résolution des équations où il développe considérablement la théorie des groupes. Il est le premier à prouver que l'on ne peut pas résoudre toutes les équations de degré 5 par des radicaux.

C’est seulement en 1870, 40 ans plus tard, que l’ampleur de ses travaux sera reconnue… La ‘‘théorie de Galois’’ a fait passer l’algèbre dans sa phase ‘‘moderne’’.

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