Le blog mathematique du professeur ROMETUS

16 octobre 2011 7 16 /10 /octobre /2011 09:36

Dictionnaire : de Diagonale d'un polygone à Disque

Diagonale d’un polygone ou d’un quadrilatère :

La diagonale d’un polygone ou d’un quadrilatère est un segment reliant deux sommets non consécutifs de ce polygone.

La longueur des diagonales d’un rectangle de dimensions a et b est √(a² + b²).

La longueur des diagonales d’un carré de côté a est a√2.

Diagramme à bandes:

Un diagramme à bandes (ou en barres) est une représentation d’une série statistique par des rectangles de même largeur et dont la hauteur est proportionnelle aux effectifs.

Exemple :

marque des voitures	Peugeot	Renault	Citroën
effectifs	10	6	4

D 09

Diagramme circulaire ou semi-circulaire :

Un diagramme circulaire est une représentation d’une série statistique par un disque séparé en secteurs de mesures proportionnelles aux effectifs.

Exemple :

candidat à une élection	Mr X	Mr Y	Mr Z	total
effectifs	50	80	70	200
fréquences	25 %	40 %	35 %	100 %
angles	90°	144°	126°	360°

D 10

Un diagramme semi-circulaire est une représentation d’une série statistique par un demi-disque séparé en secteurs de mesures proportionnelles aux effectifs.

Exemple :

candidat à une élection	Mr X	Mr Y	Mr Z	total
effectifs	50	80	70	200
fréquences	25 %	40 %	35 %	100 %
angles	45°	72°	63°	180°

D 11

Diagramme en bâtons :

Un diagramme en bâtons est une représentation d’une série statistique par des bâtons de hauteurs proportionnelles aux effectifs.

Exemple :

couleur des cheveux	brun	roux	blond
effectifs	5	1	3

D 12

Diamètre :

Un diamètre d’un cercle est un segment reliant deux points du cercle et passant par son centre. D 13

Le diamètre d’un cercle désigne aussi la longueur de ce segment.

Le diamètre d’un cercle est le double de son rayon.

Diamétralement opposés :

Deux points d’un cercle sont diamétralement opposés s’ils sont les extrémités d’un diamètre. D 14

E et F sont diamétralement opposés.

Différence :

La différence entre deux nombres a et b (a > b), notée a – b, est le nombre qu’il faut ajouter à b pour obtenir a.

Une différence est le résultat d’une soustraction.

Exemple : La différence entre 8 et 5 est 8 – 5 = 3.

Différent :

L’expression « est différent de » signifie « n’est pas égal à ».

Symbole : ≠.

Exemple : 5 – 2 = 3 ; 2 – 5 = - 3

donc 5 – 2 ≠ 2 – 5 .

Dimension :

Une dimension est une grandeur qui caractérise une figure ou un solide (longueur, largeur, hauteur, diamètre, profondeur…) .

Direction :

Deux droites ont la même direction si elles sont parallèles.

D 15

Deux vecteurs ont la même direction si leurs supports sont parallèles.

D 16

Disque :

Un disque de centre O et de rayon r est l’ensemble des points du plan situés à une distance inférieure à r du point O. Un disque est donc l’intérieur d’un cercle.

D 17

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4 octobre 2011 2 04 /10 /octobre /2011 10:01

Construction du treillis en damier

Pour construire le treillis en "damier", on trace un petit cercle, les points de l'hexagone et les milieux des arcs qui sont déterminés (figure 1). Ensuite, on trace les 12 cercles de même rayon qui ont pour centre tous les points que l'on a repérés sur le cercle de base (figure 2). On trace en noir les différents cercles sauf le cercle de base que l'on efface. Il ne nous reste plus qu'à noircir les parties nécessaires.

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2 octobre 2011 7 02 /10 /octobre /2011 09:58

Catégorie : Maths en dico

Rometus et Dico

(dessin : Wilfried LEMIEUX)

La catégorie "Maths et dico" vous propose des définitions accessibles à tous, des notions de l’histoire des mathématiques, les propriétés et les théorèmes, les symboles et les formules, de nombreux exemples et illustrations.

Sommaire prévu :

- Dictionnaire : Lexique de A à I

- Dictionnaire : Lexique de J à Z

- Dictionnaire : d’Abaque à Aire d’un cylindre

- Dictionnaire : d’Aire d’un disque à Angle inscrit

- Dictionnaire : d’Angle nul à Appartenance

- Dictionnaire : d’Application à Axiome

- Dictionnaire : de Babylone à Brahmagupta

- Dictionnaire : de Calcul à Cercle circonscrit

- Dictionnaire : de Cercle inscrit à Compas

- Dictionnaire : de Composée de deux transformations à Conversion

- Dictionnaire : de Coordonnées d’un point à Cylindre

- Dictionnaire : de Débit à Diagonale d’un parallélépipède

- Dictionnaire : de Diagonale d’un polygone à Disque

- Dictionnaire : de Distance à zéro à Dodécagone

- Dictionnaire : de Double à Durée

- Dictionnaire : d’Echelle à Ennéagone

- Dictionnaire : d’Enoncé à Extrémités

- Dictionnaire : de Face à Fréquence cumulée

- Dictionnaire : de Génératrice à Grèce

- Dictionnaire : de Hauteur à Hypothèse

- Dictionnaire : d’Image à Inverse

- Dictionnaire : de Justifier à Losange

- Dictionnaire : de Masse à Mètre cube

- Dictionnaire : de Mettre en équation à Multiplication

- Dictionnaire : de Nature à Numération

- Dictionnaire : d’Octaèdre à Orthogonalité

- Dictionnaire : de Paire à Périmètre

- Dictionnaire : de Perspective cavalière à Position

- Dictionnaire : de Pourcentage à Pythagore

- Dictionnaire : de Quadrant à Quotient

- Dictionnaire : de Racine carrée à Repérage

- Dictionnaire : de Repère à Rotation

- Dictionnaire : de Seconde à Signe

- Dictionnaire : de Simplification à Statistique

- Dictionnaire : de Stère à Système d’équations

- Dictionnaire : de Tableau à Translation

- Dictionnaire : de Transposer à Tronquer

- Dictionnaire : de Un à Vecteur

- Dictionnaire : de Vectoriel à Zéro

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27 septembre 2011 2 27 /09 /septembre /2011 10:04

Jeux avec des nombres : Toujours les mêmes résultats !

Complète là où il y a des pointillés :

a) - Prends trois chiffres différents

- Calcule leur somme s

- Forme avec ces trois chiffres les 6 nombres entiers possibles

- Ajoute ces 6 nombres

- Divise le résultat par s

- Tu trouves ………..

Recommence avec trois autres chiffres

b) - Prends un nombre de trois chiffres différents

- Renverse-le (abc devient cba)

- Fais la différence entre tes deux nombres

- Renverse cette différence

- Ajoute ces deux derniers nombres

- Tu trouves ……………

Recommence avec un autre nombre de trois chiffres

c) - Prends un nombre de quatre chiffres dans leur ordre naturel (1234 ; 4567 ; …)

- Renverse-le

- Fais la différence entre tes deux nombres

- Tu trouves ……………

Recommence avec un autre nombre de quatre chiffres

Solutions :

a) Tu trouves 222.

b) Tu trouves 1089

c) Tu trouves 3087

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25 septembre 2011 7 25 /09 /septembre /2011 10:45

Expressions avec des nombres : de 69 à 360

avec 69 : soixante-neuf

Position soixante-neuf.

avec 77 : soixante dix-sept

De sept à soixante dix-sept ans.

avec 80 : quatre-vingts

Le tour du monde en quatre-vingts jours.

avec 95 : quatre-vingt quinze

Les quatre-vingt quinze départements de la France métropolitaine.

avec 100 : cent

D'accord à cent pour cent.

En un mot comme en cent.

Etre à cent lieues de penser cela.

Etre aux cent coups.

Faire les cent pas.

Je te le donne en cent.

La guerre de cent ans.

Ne pas gagner des mille et des cents.

Une blague à cent balles.

avec 101 : cent un

Les cent un dalmatiens.

avec 107 : cent sept

Attendre cent sept ans.

avec 180 : cent quatre-vingts

Virer de cent quatre-vingts degrés.

avec 360 : trois cent soixante

Vision panoramique de trois cent soixante degrés.

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17 septembre 2011 6 17 /09 /septembre /2011 21:14

Civilisations mathématiciennes : Europe

L'Europe : (vers 900 – aujourd’hui)

L'essor dans tous les domaines des mathématiques.

Europe 02

Du X^ème siècle au XV^ème siècle, les mathématiciens européens acquièrent quelques connaissances des peuples précédents (celles des Grecs, des Indiens et des Arabes).

Au Moyen âge, l'Europe avait un retard scientifique assez considérable sur les civilisations orientales. C'est grâce aux croisades, puis à travers les contacts entre scientifiques qu'elle le combla.

Les mathématiques étaient alors nécessaires pour traverser les océans, pour concevoir des fortifications, pour favoriser l'artillerie et le développement du commerce. Il fallait améliorer les méthodes de calcul. L'Eglise avait condamné les chiffres "indo-arabes", mais leur utilité évidente les rendait désormais indispensables.

C'est après l’invention de l’imprimerie vers 1450, donc la diffusion d’œuvres antiques et une période de traductions et de mises au point, que l'on arrive à des progrès exceptionnels pour les mathématiques. Voici comment on peut caractériser chaque siècle :

XIV^ème et XV^ème siècle :

- étude des connaissances grecques, indiennes et arabes ;

- résolution des équations (1^er et 2^e degré) ;

- travail sur la science des nombres et des opérations (calcul écrit).

XVI^ème siècle :

- travail sur l’algèbre élémentaire (équations du 3^e et du 4^e degré) ;

- découverte des nombres imaginaires (appelés plus tard nombres complexes) ;

- grands progrès des notations symboliques.

XVII^ème siècle :

- invention des logarithmes ;

- création de la géométrie analytique (lien entre algèbre et figures) ;

- découverte du calcul infinitésimal (différentiel et intégral) ;

- étude de la théorie des nombres ;

- travail sur les probabilités et statistiques.

XVIII^ème siècle :

- âge d'or de l'analyse avec les fonctions ;

- étude des courbes et du calcul des variations ;

- résolution d'équations classiques ou différentielles ;

- travail en trigonométrie sphérique et en mécanique.

XIX^ème siècle :

- étude approfondie des nombres complexes ;

- invention des groupes et des matrices ;

- création de la géométrie projective ;

- réflexion sur des géométries non euclidiennes ;

- découverte de l'algèbre de Boole et de la théorie des ensembles.

XX^ème siècle :

-utilisation de théorie des groupes et des ensembles ;

- progrès considérables dans tous les secteurs des mathématiques.

Depuis le XV^ème siècle jusqu’à ce jour, l’Europe fournit le plus grand nombre de mathématiciens de renom. Les Etats-Unis et d’autres pays comptent de très grands mathématiciens depuis 1930.

Les signes et symboles que nous connaissons ont été inventés par les Européens :

- Le Français Nicolas Chuquet crée les notations des exposants tels que ‘‘2⁴’’ vers 1480.

- L’Allemand Widmann emploie les signes ‘‘+’’ et ‘‘-’’ vers 1490, mais ils sont généralisés par l’Allemand Stifel vers 1555.

- L’Allemand Rudolff invente le symbole ‘‘ √ ’’ vers 1525.

- L' Italien Bombelli utilise les parenthèses ‘‘(‘’ et ‘‘)’’ dans les calculs algébriques vers 1550.

- L'Anglais Recorde propose le signe ‘‘=’’ vers 1555.

- Le Français François Viète utilise le premier des lettres dans les équations vers 1580.

- L’Anglais Harriot crée les symboles ‘‘<’’ et ‘‘>’’ vers 1625.

- L’Anglais Oughtred introduit le signe ‘‘×’’ vers 1630.

- Le Français René Descartes invente le mot ‘‘équation’’ vers 1635. Il prendra a, b, c pour les valeurs connues et x, y, z pour les inconnues.

- L'Anglais John Wallis invente le symbole ‘‘∞’’ vers 1650.

Pour l'expression 5 + 3x,

- l'italien Rafaele Bombelli, vers 1550, aurait écrit : 5.p.3¹ ;

- le français François Viète, vers 1580, aurait écrit : 5 + in A ;

- le français René Descartes, vers 1630, aurait écrit : 5 + 3 z.

Il est intéressant de noter que parmi les conjectures faites il y a de nombreuses années, certaines ont été très longues à démontrer et d'autres que l'on ne peut contredire, n'ont encore jamais été démontrées :

Prenons le cas de la conjecture de Fermat. La plupart des mathématiciens essayèrent d'en faire la preuve et il fallut plus de 400 ans avant qu'elle ne soit démontrée (Voir Pierre de FERMAT).

Prenons aussi la conjecture de Goldbach (1690 – 1764) : "tout entier pair est la somme de deux nombres premiers". On peut facilement s'y essayer :

8 = 3 + 5 ; 24 = 11 + 13 ; 34 = 17 + 17 ; 48 = 19 + 29 ; etc…

Personne n'a pu prouver que cette conjecture soit fausse, on n'a jamais trouvé de nombre pair qui ne soit pas la somme de deux nombres premiers, mais on n'a jamais non plus réussi à en faire la démonstration.

Une petite remarque sur l'influence de l'Europe, et plus spécialement de la France dans l'unification du système de mesure.

Depuis l'Antiquité, diverses unités de mesures, toutes plus originales les unes que les autres, sont employées dans chaque civilisation et dans chaque pays. C'est pendant la Révolution française que le système métrique international est créé.

A partir d'une unité de base, les autres mesures sont exprimées en puissances de 10 de cette unité. Par exemple, pour la longueur, on a le mètre et pour la masse, on a le kg (1 hm = 10² m ; 1 g = 10^-3 kg).

Pour le temps, on a fait une exception, on a conservé le système babylonien et on compte en base 60. Les Français avaient pourtant essayé de réformer le mois en trois décades de dix jours, puis le jour en dix heures de cent minutes chacune, mais cela était trop impopulaire.

Il reste encore certains pays qui conservent le vieux système de l'empire anglais : livres, yards, pintes, quarts, …

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16 septembre 2011 5 16 /09 /septembre /2011 07:37

Dictionnaire : de Débit à Diagonale d'un parallélépipède

Débit d’un écoulement :

Le débit d’un écoulement est le quotient du volume de liquide écoulé par la durée de cet écoulement. C’est donc la quantité de liquide qui s’écoule en une unité de temps.

Unité usuelle : m³ /s. On mesure aussi en L /min.

Exemple : Le débit de la Loire à Nantes est en moyenne 650 m³ /s.

Décagone :

Un décagone est un polygone qui a dix côtés. D 01

Décamètre :

Un décamètre représente dix mètres.

Symbole : dam.

Décimètre :

Un décimètre est un dixième de mètre.

Symbole : dm.

Déduire :

Déduire, c’est utiliser les résultats ou les conclusions précédentes pour obtenir le résultat ou la conclusion demandée.

Définition :

Une définition est une phrase qui caractérise un être mathématique.

Degré :

Le degré est une unité usuelle de mesure d’angle.

Symbole : °.

Exemple : Un angle droit mesure 90°.

Demi-cercle :

Un demi-cercle est une partie d’un cercle limitée par deux points diamétralement opposés. D 02

Demi-droite :

Une demi-droite est une partie de droite limitée dans un sens par un point appelé origine, illimitée dans l’autre sens. D 03

Notation : [AB) est la demi-droite d’origine A passant par B.

Demi-plan :

Un demi-plan est une région du plan limitée par une droite. D 04

Démonstration :

La démonstration est l’action de démontrer. C’est donc l’ensemble du raisonnement qui sert à prouver qu’une propriété est vraie.

Démontrer :

Démontrer, c’est prouver une propriété.

On se base sur des hypothèses, on utilise des définitions ou des propriétés du cours pour arriver à une conclusion.

Dénominateur :

Le dénominateur d’un quotient ou d’une fraction a / b (b ≠ 0) est le nombre b.

Exemple : 5 est le dénominateur de la fraction 3 / 5.

Descartes :

René Descartes, originaire de la Touraine, est un grand philosophe et mathématicien du 17^ème siècle (1596-1650).

D 05

Il est à l’origine de la géométrie analytique et invente en particulier un système de coordonnées. Son nom reste lié aux coordonnées cartésiennes.

Descartes pense que tous les problèmes peuvent être résolus par les mathématiques, il suffit pour cela de les mettre en équation et de les résoudre.

Déterminer :

Déterminer, c’est trouver des éléments mathématiques (numériques ou géométriques) justifiant les calculs ou les raisonnements.

Deux :

Deux est un chiffre qui s’écrit 2.

Exemple : Nous avons deux yeux.

Développement :

Le développement est l’action de développer une expression.

Développer :

Développer une expression littérale, c’est supprimer ses parenthèses en respectant certaines règles.

Règles : a + (b + c) = a + b + c

a + (b - c) = a + b - c

a - (b + c) = a - b - c

a - (b - c) = a - b + c

a (b + c) = ab + ac

a (b - c) = ab – ac

(a + b)(c + d) = ac + ad + bc + bd

Exemples :

(5x + 2) + (4x – 1) = 5x + 2 + 4x – 1 = 9x + 1.

(6x² + 3x + 9) – (2x² + x + 2) = 6x² + 3x + 9 – 2x² – x – 2 = 4x² + 2x + 7.

4(3x + 5) = 12x + 20.

7(4x + 9) – 3(2x – 4) = 28x + 63 – 6x + 12 = 22x + 75.

(3x + 2)(4x – 1) = 12x² – 3x + 8x – 2 = 12x² + 5x – 2.

Diagonale d’un parallélépipède rectangle :

Une diagonale d’un parallélépipède rectangle est un segment reliant deux sommets d’un parallélépipède rectangle n’appartenant pas à la même face.

D 06

La longueur de chacune des quatre diagonales d’un parallélépipède rectangle de dimensions a, b et c est √(a² + b² + c²).

Dans le cas particulier d’un cube d’arête a, la longueur de la diagonale est a√3.

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4 septembre 2011 7 04 /09 /septembre /2011 10:29

Construction de la rose des vents

Pour construire la rose des vents, on trace un cercle, deux diamètres perpendiculaires et les bissectrices. Ensuite, on repère les milieux des huit arcs que l'on a déterminés. On commence à tracer en noir des segments comme indiqué dans les figures 1, 2 et 3. Il ne nous reste plus qu'à effacer le cercle fait au crayon et à noircir les parties nécessaires.

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4 septembre 2011 7 04 /09 /septembre /2011 09:54

Catégorie : Histoire des maths

Rometus et Histoire

(dessin : Wilfried LEMIEUX)

La catégorie "Histoire des maths" vous permet de connaître l'évolution des mathématiques et de découvrir ses créateurs.

Etudier l' histoire des mathématiques permet de comprendre leur évolution et de s'intéresser davantage à l'algèbre, à la géométrie ou à d'autres sciences.

De même, il faut tenir compte de l'histoire des mathématiques pour pouvoir les enseigner. Un enfant ne doit pas apprendre le calcul ou la géométrie autrement que l'humanité ne les a apprises au cours de son histoire. Il doit donc essayer d'acquérir d'abord les notions qui se sont imposées les premières à l'homme avant de passer à celles qui viennent d'être inventées.

Sommaire prévu :

- Civilisations mathématiciennes : Préhistoire

- Civilisations mathématiciennes : Mésopotamie

- Civilisations mathématiciennes : Egypte

- Civilisations mathématiciennes : Chine

- Civilisations mathématiciennes : Grèce

- Civilisations mathématiciennes : Mayas

- Civilisations mathématiciennes : Romains

- Civilisations mathématiciennes : Inde

- Civilisations mathématiciennes : Arabie

- Civilisations mathématiciennes : Europe

- Civilisations mathématiciennes : Mondialisation

- Grands mathématiciens : Grecs

- Grands mathématiciens : Arabes

- Grands mathématiciens : Européens (de 900 à 1750 après JC)

- Grands mathématiciens : Européens (de 1750 à nos jours)

- Grands mathématiciens : Archimède

- Grands mathématiciens : Chasles

- Grands mathématiciens : Condorcet

- Grands mathématiciens : Descartes

- Grands mathématiciens : Eratosthène

- Grands mathématiciens : Euclide

- Grands mathématiciens : Fibonacci

- Grands mathématiciens : Galois

- Grands mathématiciens : Gauss

- Grands mathématiciens : Hamilton

- Grands mathématiciens : Inaudi

- Grands mathématiciens : Laplace

- Grands mathématiciens : Newton

- Grands mathématiciens : Pascal

- Grands mathématiciens : Pythagore

- Grands mathématiciens : Sylvestre II

- Grands mathématiciens : Thalès

- Grands mathématiciens : Viète

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26 août 2011 5 26 /08 /août /2011 12:59

Magie avec des nombres : La table d'addition magique

25	23	28	21	26
13	11	16	9	14
20	18	23	16	21
28	26	31	24	29
11	9	14	7	12

Demandez à un spectateur :

- de faire une croix sur 5 nombres de cette table n'importe où mais de façon qu'il n'y ait qu'un seul nombre coché par ligne et un seul par colonne ;

- d'écrire les nombres cochés ;

- de faire la somme de ces nombres.

Annoncez alors le résultat !!!

Solution :

Annoncez le résultat qui est 95.

L'explication est simple :

Les lignes et les colonnes de cette table ont été obtenues à partir de la table d'addition suivante :

+	8	6	11	4	9
17	25	23	28	21	26
5	13	11	16	9	14
12	20	18	23	16	21
20	28	26	31	24	29
3	11	9	14	7	12

Or, 8 + 6 + 11 + 4 + 9 + 17 + 5 + 12 + 20 + 3 = 95.

En prenant 5 nombres dans la disposition demandée, on fait forcément la somme de nos dix nombres, on trouve toujours 95.

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