Le blog mathematique du professeur ROMETUS

10 décembre 2011 6 10 /12 /décembre /2011 15:31

Dictionnaire : de Double à Durée

Double :

Le double d’un nombre est égal à deux fois ce nombre.

Exemple : 14 est le double de 7 (car 14 = 2 × 7).

Douzaine :

Une douzaine est un groupe de douze unités.

Exemple : Une douzaine d’œufs.

Douze :

Douze est un nombre qui s’écrit 12.

Exemple : Une année contient douze mois.

Droite :

Une droite est un ensemble illimité de points alignés.

Son image peut être celle d’un fil à plomb ou d’une corde tendue.

D 29

Notation : droite (AB).

Par deux points distincts, il passe une droite et une seule.

Droite parallèle à un plan :

Une droite parallèle à un plan est une droite qui est contenue dans le plan ou qui n’a aucun point commun avec ce plan. D 30

Droite perpendiculaire à un plan :

Une droite perpendiculaire à un plan est une droite perpendiculaire à deux droites sécantes du plan. D 31

Droites concourantes :

Des droites concourantes sont des droites (à partir de trois) qui se coupent en un même point.

D 32

Droites confondues :

Deux droites confondues sont deux droites égales.

D 33

(AB) = (AC).

Les droites (AB) et (AC) sont confondues.

Droites coplanaires :

Deux droites coplanaires sont deux droites contenues dans le même plan.

D 34

Droites disjointes :

Deux droites disjointes sont deux droites qui n’ont pas de point commun.

D 35

Droites orthogonales :

Deux droites orthogonales sont deux droites dont les parallèles passant par un point de l’espace sont perpendiculaires. D 36

Droites parallèles :

Deux droites parallèles sont deux droites disjointes ou confondues.

D 37

Notation : d₁ // d₂ .

d₁ est parallèle à d₂ .

Droites perpendiculaires :

Deux droites perpendiculaires sont deux droites sécantes qui forment un angle droit.

D 38

Notation : d₃ ^ d₄ .

d₃ est perpendiculaire à d₄ .

Droites sécantes :

Deux droites sécantes sont deux droites qui se coupent en un seul point.

D 39

Durée :

La durée est l’amplitude du temps qui sépare deux instants.

Les unités usuelles de durée sont l’heure (h), la minute (min) et la seconde (s).

1 h = 60 min ; 1 min = 60 s ; 1 h = 3600 s .

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10 décembre 2011 6 10 /12 /décembre /2011 13:02

Construction d'un cube

Un cube est limité par 6 faces qui sont des carrés.

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24 novembre 2011 4 24 /11 /novembre /2011 07:14

Expressions avec des nombres : de 365 à 1 000 000 000

avec 365 : trois cent soixante-cinq

Les trois cent soixante-cinq jours de l'année (non bissextile).

avec 400 : quatre cents

Faire les quatre cents coups.

avec 421 : quatre cent vingt et un

Le jeu du quatre cent vingt et un.

avec 1000 : mille

Etre à mille lieues de penser cela.

Je te le donne en mille.

Mettre dans le mille.

Mille excuses.

Mille fois merci.

Un mille-feuilles.

Un mille-pattes.

avec 1001 : mille un

Un conte des mille et une nuits.

avec 1900 : mille neuf cent

Style mille neuf cent.

avec 20 000 : vingt mille

Vingt mille lieues sous les mers.

avec 36 000 : trente-six mille

Envoyer aux trente-six mille diables.

Il n'y a pas trente-six mille solutions.

Trente-six mille choses à faire.

avec 1 000 000 : un million

Etre riche à millions.

Qui veut gagner des millions ?

avec 1 000 000 000 : un milliard

Mille milliards de mille sabords.

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18 novembre 2011 5 18 /11 /novembre /2011 07:04

Magie avec des nombres : Un carré super-magique à la demande

Demandez à un spectateur :

- de vous donner un nombre entre 33 et 50.

Ecrivez-lui un carré super-magique de 4 lignes et 4 colonnes dont la constante est son nombre, il sera ébahi !!!

Solution :

Il faut retenir par cœur ce carré :

B	1	12	7
11	8	A	2
5	10	3	D
4	C	6	9

Si le spectateur a choisi le nombre N, calculez :

A = N – 21 ; B = A + 1 ; C = A + 2 ; D = A + 3.

Vous n'avez plus qu'à présenter votre carré super-magique.

L'explication est simple :

A = N – 21 ;

B = A + 1 = N – 21 + 1 = N – 20 ;

C = A + 2 = N – 21 + 2 = N – 19 ;

D = A + 3 = N – 21 + 3 = N – 18.

N - 20	1	12	7
11	8	N - 21	2
5	10	3	N – 18
4	N - 19	6	9

Or, voici la somme des nombres des lignes :

N – 20 + 1 + 12 + 7 = N ;

11 + 8 + N – 21 + 2 = N ;

5 + 10 + 3 + N – 18 = N ;

4 + N – 19 + 6 + 9 = N.

Voici la somme des nombres des colonnes :

N – 20 + 11 + 5 + 4 = N ;

1 + 8 + 10 + N – 19 = N ;

12 + N – 21 + 3 + 6 = N ;

7 + 2 + N – 18 + 9 = N.

Voici la somme des nombres des diagonales :

N – 20 + 8 + 3 + 9 = N ;

4 + 10 + N – 21 + 7 = N.

Même, la somme des nombres aux 4 extrémités est N :

N – 20 + 7 + 4 + 9 = N.

La somme des 4 nombres du centre est aussi N :

8 + N – 21 + 3 + 10 = N.

Il y a encore deux autres sommes de nombres qui sont égales à N.

Ce carré est super-magique de constante N.

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16 novembre 2011 3 16 /11 /novembre /2011 07:28

Grands mathématiciens : Grecs

Mathématiciens grecs

Grèce 02

THALES (624 avant JC – 546 avant JC), grec :

Voir article complet

PYTHAGORE (569 avant JC – 500 avant JC), grec :

Voir article complet

ZENON (490 avant JC – 430 avant JC), grec :

Il étudie les paradoxes du mouvement.

HIPPOCRATE (470 avant JC – 400 avant JC), grec :

Il écrit des éléments de géométrie, qui serviront à Euclide.

DEMOCRITE (460 avant JC – 370 avant JC), grec :

Il fonde une théorie sur la matière formée d’« atomes » et établit que le volume d’une pyramide est égal au tiers du volume d’un prisme de même base et de même hauteur.

ARCHYTAS (428 avant JC – 360 avant JC), grec :

Il étudie la duplication du cube.

PLATON (427 avant JC – 347 avant JC), grec :

Il travaille sur la théorie des nombres et met au point l’axiomatique. Il étudie les fameux ‘‘solides de Platon’’ (polyèdres réguliers convexes) en démontrant qu’il n’en existe que cinq (le tétraèdre régulier avec 4 faces, l’hexaèdre régulier avec 6 faces, l’octaèdre régulier avec 8 faces, le dodécaèdre régulier avec 12 et l’icosaèdre régulier avec 20).

Platon aurait été consulté par des architectes qui devaient répondre à une demande du dieu Apollon sur le problème de la duplication du cube. En effet, pour éviter la peste, les habitants avaient été amenés à construire un autel de volume double de celui qui existait et de même forme cubique. Platon en déduisit que les dieux ne voulaient pas qu'on néglige la géométrie.

Il a écrit à l’entrée de son Académie (école philosophique) : ‘‘Que nul n’entre ici s’il n’est géomètre’’.

EUDOXE (408 avant JC – 355 avant JC), grec :

Il émet la théorie des proportions du livre V d'Euclide.

ARISTOTE (384 avant JC – 322 avant JC), grec :

Elève de Platon, il aborde la logique, le hasard, la notion de continuité et d’infini.

EUCLIDE (330 avant JC – 275 avant JC), grec :

Voir article complet

ARISTARQUE (310 avant JC – 230 avant JC), grec :

Il affirme, 17 siècles avant Copernic, que les planètes tournent autour du soleil. Il sera un précurseur de la trigonométrie. Il donne une approximation de la mesure de la Lune et essaye même grâce à la trigonométrie de donner une valeur approchée de la distance Terre-Lune et de la distance Terre-Soleil.

ARCHIMEDE (287 avant JC – 212 avant JC), grec :

Voir article complet

ERATOSTHENE (276 avant JC – 194 avant JC), grec :

Voir article complet

APOLLONIUS(262 avant JC – 190 avant JC), grec :

Il effectue un travail colossal sur les coniques : sections de cône par un plan (parabole, ellipse, hyperbole…). Il invente les dénominations de ces sections coniques et son étude approfondie servira à Kepler vers 1600 pour analyser le mouvement des planètes.

HERON (75 – 150), grec :

Il s'intéresse aux métriques et on lui attribue la formule d'Héron.

MENELAÜS (vers 100), grec :

Il étudie les cordes dans un cercle et donne les premiers résultats de trigonométrie sphérique. Il donne les prémices d'une géométrie non euclidienne en s'apercevant que la somme des angles d'un triangle sphérique est supérieure à 180°.

PTOLEMEE (85 – 165), grec :

Il détermine que π ≈ 3 + 17 /120 ≈ 3,14166… .

Ptolémée place la Terre en un point fixe au centre du monde.

Malgré cela, son œuvre en astronomie et en trigonométrie jouera plus tard un rôle considérable. Il établit une table des sinus et étudie les projections.

NICOMAQUE (vers 200), grec :

Il écrit "Introduction à l'arithmétique".

PAPPUS (vers 320), grec :

Il rédige "Collections mathématiques".

DIOPHANTE (325 - 409), grec :

Il introduit une nouvelle approche de l’arithmétique en tentant de résoudre des problèmes numériques. En particulier, il donne une méthode pour trouver les triplets pythagoriciens comme (3 ; 4 ; 5).

Il est auteur de traités sur les équations à une ou plusieurs inconnues. Il introduit même une équation de degré 3.

THEON (vers 380), grec :

Il réalise des commentaires d'Euclide, d'Archimède et de Ptolémée.

HYPATHIE (370 - 415), grecque :

Elle écrit des commentaires d'Euclide, de Diophante, d'Apollonius et de Ptolémée.

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10 novembre 2011 4 10 /11 /novembre /2011 07:20

Dictionnaire : de Distance à zéro à Dodécagone

Distance à zéro :

La distance à zéro (ou valeur absolue) d’un nombre relatif est sa partie numérique.

Exemple : La distance à zéro de – 3 est 3.

La distance à zéro de 5,4 est 5,4.

Distance d’un point à une droite :

La distance d’un point A à une droite Δ est la distance du point A au point H de la droite Δ tel que (AH) est perpendiculaire à Δ. D 18

d (A , Δ) = AH.

Distance entre deux points :

La distance entre deux points A et B est le nombre d’unités de longueur qu’il y a entre A et B.

Notation : AB ou d (A,B).

D 19 AB = 4 cm.

Dans un repère orthonormal, si A (x_A; y_A) et B (x_B; y_B) ,

alors AB = √[(x_B- x_A)² + (y_B - y_A)²].

Exemple : Dans un repère orthonormal d’unité 1 cm, on a : C ( -2 ; 5) ; D ( 3 ; 4) .

Calculer la distance CD.

C (-2 ; 5) ; D (3 ; 4)

CD = √[(3 + 2)² + (4 - 5)² ]

CD = √[5² + (- 1)²]

CD = √(25+ 1)

CD = √26.

Distinct :

Deux points sont distincts s’ils ne sont pas confondus.

D 20

Distributivité :

La multiplication est distributive par rapport à l’addition.

Pour tous nombres a, b et c : a(b + c) = ab + ac.

Exemple : 7 ×(9 + 1) = 7 × 9 + 7 × 1 = 63 + 7 = 70.

7 ×(9 + 1) = 7 × 10 = 70.

La multiplication est distributive par rapport à la soustraction.

Pour tous nombres a, b et c : a(b – c) = ab – ac.

Exemple : 8 ×(12 – 2) = 8 × 12 – 8 × 2 = 96 – 16 = 80.

8 ×(12 – 2) = 8 × 10 = 80.

Dividende :

Un dividende est un nombre entier qui va être divisé dans une division euclidienne.

D 21 a est le dividende.

Exemple :

D 22

13 est le dividende.

Diviseur :

Un diviseur est un nombre entier par lequel on divise dans une division euclidienne.

D 21

b est le diviseur.

Exemple : D 23

4 est le diviseur.

Si a et b sont des entiers, on dit que b est un diviseur de a s’il existe un nombre entier q tel que

a = b × q.

Exemple : 5 est un diviseur de 30 car 30 = 6 × 5.

Divisible :

a et b étant des entiers, on dit que a est divisible par b si b est un diviseur de a.

Exemple : 40 est divisible par 8 car 40 : 8 = 5 ou 40 = 8 × 5.

Voir critère de divisibilité.

Division :

Une division est une opération qui à deux nombres a et b associe leur quotient a : b.

Exemple : 45 : 9 = 5.

Technique :

D 24

donc 13,56 : 4 = 3,39.

Division des fractions :

Pour effectuer une division de fractions, on multiplie la première fraction par l’inverse de la seconde.

Si a, b, c et d sont des entiers tels que b ≠0, c ≠0 et d ≠ 0, :

(a / b) : (c / d) = (a / b) × (d / c) = (a × d) / (b × c) .

Exemple : (2 / 3) : (5 / 7) = (2 / 3) × (7 / 5) = 14 / 15.

Division des nombres relatifs :

Pour effectuer une division de nombres relatifs, on divise leurs parties numériques et on applique la règle des signes suivante :

Si les deux nombres sont de même signe, leur quotient est positif .

Sinon, leur quotient est négatif.

Exemple : - 8 : ( - 2) = 4.

36 : (- 4) = - 9.

Division euclidienne :

Une division euclidienne est une division entre nombres entiers.

Elle est du type D 21 où a, b, q et r sont des entiers (r < b).

a est le dividende, b est le diviseur, q est le quotient, r est le reste.

On a l’égalité euclidienne associée : a = b × q + r.

Exemple :

D 27

45 = 7 × 6 + 3 est l’égalité euclidienne associée.

Division exacte :

Une division exacte est une division où le reste est nul.

Exemple :

D 28

Division par 10, 100 ou 1000 :

Pour effectuer une division d’un nombre par 10, 100 ou 1000, on décale la virgule du nombre respectivement de 1, 2 ou 3 rangs vers la gauche.

Exemples : 364 : 100 = 3,64.

587,2 : 10 = 58,72.

Division par 0,1 ; 0,01 ou 0,001 :

Pour effectuer une division d’un nombre par 0,1 ; 0,01 ou 0,001, on décale la virgule respectivement de 1, 2 ou 3 rangs vers la droite.

Cela revient à multiplier par 10 ; 100 ou 1000.

Exemple : 8,4 : 0,01 = 8,4 × 100 = 840.

Dix :

Dix est un nombre qui s’écrit 10.

C’est la base de notre système décimal.

Exemple : Nos deux mains contiennent dix doigts.

Dizaine :

Une dizaine est un groupe de dix unités.

Dodécagone :

Un dodécagone est un polygone qui a douze côtés. D 25

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5 novembre 2011 6 05 /11 /novembre /2011 12:59

Construction d'un tétraèdre régulier

Un tétraèdre régulier est limité par 4 faces qui sont des triangles équilatéraux.

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29 octobre 2011 6 29 /10 /octobre /2011 17:14

Histoire de la numération : Numération grecque

Numération grecque :

(entre 700 avant JC et 400 après JC)

Les Grecs ont eu un premier système de numération très peu pratique, formé de cinq signes, qu'il fallait accoler ou mettre l'un dans l'autre. Ensuite, ils adoptèrent un système additif, qui utilisait les lettres de l'alphabet.

Numération grecque

Au delà de 1 000, les Grecs avaient d'autres symboles comme le A ou le M conjugués avec une apostrophe et des lettres grecques.

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29 octobre 2011 6 29 /10 /octobre /2011 15:02

Magie avec des nombres : Un carré magique personnalisé

Voici un carré :

a	b	c
d	e	f
g	h	i

Demandez à un spectateur sa date de naissance complète J / M / A.

J est le jour de naissance, M est le mois de naissance, A est l'année de naissance.

Complétez le carré de la façon suivante :

1) b = A ;

2) g = A + J ;

3) f = g + J ;

4) i = A – M ;

5) d = i – M ;

6) e = g – M ;

7) c = e – M ;

8) a = f – M ;

9) h = a – M.

Présentez ce carré magique personnalisé !!!

Solution :

En effet, le carré constitué avec a, b, c, d, e, f, g, h et i est magique.

L'explication est simple :

b = A ;

g = A + J ;

f = g + J = A + J + J = A + 2J ;

i = A – M ;

d = i – M = A – M – M = A – 2M ;

e = g – M = A + J – M ;

c = e – M = A + J – M – M = A + J – 2M ;

a = f – M = A + 2J – M ;

h = a – M = A + 2J – M – M = A + 2J – 2M.

Voici le carré après les calculs :

A + 2J – M	A	A + J – 2M
A – 2M	A + J – M	A + 2J
A + J	A + 2J – 2M	A - M

Étudions la somme des nombres des lignes, des colonnes et des diagonales :

première ligne : A + 2J – M + A + A + J – 2M = 3A + 3J – 3M ;

deuxième ligne : A – 2M + A + J – M + A + 2J = 3A + 3J – 3M ;

troisième ligne : A + J + A + 2J – 2M + A – M = 3A + 3J – 3M ;

première colonne : A + 2J – M + A – 2M + A + J = 3A + 3J – 3M ;

deuxième colonne : A + A + J – M + A + 2J – 2M = 3A + 3J – 3M ;

troisième colonne : A + J – 2M + A + 2J + A – M = 3A + 3J – 3M ;

première diagonale : A + 2J – M + A + J – M + A – M = 3A + 3J – 3M ;

deuxième diagonale : A + J + A + J – M + A + J – 2M = 3A + 3J – 3M.

Le carré est donc bien un carré magique, quelle que soit le jour, le mois et l'année de naissance.

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19 octobre 2011 3 19 /10 /octobre /2011 21:20

Civilisations mathématiciennes : Mondialisation

La Mondialisation : (1900 – aujourd’hui)

Au XX^ème siècle, le rythme des progrès des mathématiques s’est accéléré de telle façon qu’il est impensable qu’un scientifique puisse suivre l’ensemble des branches des maths. On verra l’émergence de mathématiciens de différents pays qui se spécialisent, aussi bien en Europe qu’aux Etats-Unis, en U.R.S.S., au Japon ou même en Nouvelle-zélande.

Jusqu’en 1914, les mathématiciens français et allemands sont de loin les plus efficaces, il faut ajouter des représentants des Ecoles anglaises, italiennes et russes.

Entre les deux guerres (1918 à 1939), les Ecoles françaises, allemandes, polonaises et russes fournissent de grands scientifiques mais il faut noter la naissance des Ecoles américaines. De nombreux savants européens n’hésitent pas à s’exiler aux Etats-Unis et les Américains participent de mieux en mieux à l’évolution des mathématiques.

Après 1945, une Ecole japonaise devient importante. Il devient difficile de couvrir l’ensemble des domaines mathématiques. Il faut savoir que chaque année, le nombre de théorèmes publiés annuellement est presque de 200 000. Seules, les Ecoles américaines, russes, japonaises et celles de notre vieille Europe (Allemagne, France, Angleterre..) peuvent essayer de suivre une telle évolution. Il serait étonnant qu’une Ecole chinoise de renom n’émerge pas prochainement.

Citons le mathématicien indien Srinivasa RAMANUJAN (1887 – 1920) :

C'est le plus grand génie des mathématiques de l'Inde et l'un des meilleurs mathématiciens du XX^ème siècle. Il fait évoluer la théorie des nombres, s'intéresse aux fonctions elliptiques, aux fractions continues et aux séries infinies.

C'est aussi un brillant calculateur. On lui demande un jour si le nombre 1729 peut avoir des propriétés néfastes. Il répond tout de suite que c'est au contraire un nombre très intéressant puisque c'est le plus petit nombre décomposable de deux manières différentes en somme de deux cubes.
En effet, 1729 = 12³ + 1³ = 10³ + 9³.

Ramanujan était issu d'une famille pauvre et s'était formé de façon autodidacte aux mathématiques. Un professeur anglais, Hardy, invite Ramanujan à Cambridge après avoir lu un mémoire qu'il lui avait envoyé et qui contenait plus de cent théorèmes.

Ce dernier vient alors travailler en Angleterre, mais tombe malheureusement malade de la tuberculose en 1918 et retourne passer ses derniers mois en Inde, il a la force d'écrire pendant sa dernière année environ six cents théorèmes sur des feuilles volantes qu'on ne découvrira qu'en 1976. Il meurt à l'âge de 32 ans.

Voici le palmarès de la médaille Fields (équivalent du prix Nobel pour les maths) depuis 1936 :

1936 : Lars AHLFORS (Finlande)

Jesse DOUGLAS (Etats-Unis)

1950 : Laurent SCHWARTZ (France)

Atle SELBERG (Norvège)

1954 : Jean-Pierre SERRE (France)

Kunihiko KODAIRA (Japon)

1958 : Klaus ROTH (Grande-Bretagne)

René THOM (France)

1962 : Lars HORMANDER (Suède)

John MILNOR (Etats-Unis)

1966 : Michael ATIAH (Grande-Bretagne)

Paul COHEN (Etats-Unis)

Stephen SMALE (Etats-Unis)

Alexander GROTHENDIECK (France)

1970 : Alan BAKER (Grande-Bretagne)

John THOMPSON (Etats-Unis)

Sergeï NOVIKOV (U.R.S.S.)

Heike HIRONAKA (Japon/Etats-Unis)

1974 : Enrique BOMBIERI (Italie)

David MUMFORD (Etats-Unis)

1978 : Pierre DELIGNE (Belgique)

Charles FEFFERMAN (Etats-Unis)

Daniel QUILLEN (Etats-Unis)

Grigori MARGOULIS (U.R.S.S.)

1982 : Alain CONNES (France)

William THURSTON (Etats-Unis)

Shing TUNG-YAU (Etats-Unis)

1986 : Simon DONALDSON (Grande-Bretagne)

Gerd FALTINGS (Allemagne)

Mickael FREEDMAN (Etats-Unis)

1990 : Edward WITTEN (Etats-Unis)

Vaughan JONES (Nouvelle-Zélande)

Vladimir DRINFELD (U.R.S.S.)

Shigefumi MORI (Japon)

1994 : Jean BOURGAIN (Belgique)

Jean-Christophe YOCCOZ (France)

Pierre-louis LIONS (France)

Efim ZELMANOV (Russie)

1998 : Maxim KONTSEVITCH (Russie)

Richard BORCHERDS (Afrique du sud)

Timothy GOWERS (Grande-Bretagne)

Curtis McMULLEN (Etats-Unis)

2002 : Laurent LAFFORGUE (France)

Vladimir VOEVODSKY (Russie)

2006 : Andrei OKOUNKOV (Russie)

Grigori PERELMAN (Russie)

Terence TAO (Australie)

Wendelin WERNER (France)

2010 : Cédric VILLANI (France)

Ngô Bao CHAU (France)

Stanislav SMIRNOV (Russie)

Elon LINDESTRAUSS (Israël).

Soit depuis 1936,

13 mathématiciens des États-Unis, 11 de France, 6 de Russie, 5 de Grande-Bretagne, 3 d'U.R.S.S., 3 du Japon, 2 de Belgique, 1 de Norvège, 1 de Finlande, 1 d'Allemagne, 1 de Suède, 1 d'Italie, 1 de Nouvelle-Zélande, 1 d'Australie, 1 d'Afrique du sud, 1 d'Israël.