La Grèce :  (vers 700 avant JC – vers 500 après JC)

Le début du raisonnement mathématique.

Les Grecs firent progresser la géométrie et l’étude des nombres, mais dédaignèrent le calcul. Leurs notions fondamentales des mathématiques étaient celles des figures et des nombres. On peut dire que c’est en Grèce qu'apparurent les premiers mathématiciens, jusque là, il n'y avait que des scribes ou des comptables pour faire quelques calculs.

La découverte fondamentale des mathématiciens grecs fut leur méthode de raisonnement systématique…  Leurs soucis principaux étant la clarté et l’ordre.

Les Grecs se sont passionnés pour les constructions à la règle et au compas. Trois problèmes les ont vraiment ennuyés :

- la quadrature du cercle (construction d’un carré d’aire égale à celle du disque),

- la duplication du cube (construction d’un cube de volume double d’un cube donné),

- la trisection de l’angle (construction d’un angle égal au tiers d’un angle donné).

Ce n’est que 2000 ans plus tard, au XIX^ème siècle, que l’impossibilité de ces constructions a été établie.

Ils n’ont pas réfléchi qu’à la géométrie plane, ils ont aussi abordé la géométrie dans l’espace et arrivèrent même à démontrer qu’il n’existe que cinq polyèdres réguliers convexes grâce à Platon (427 avant JC – 347 avant JC). Celui-ci les associa aux éléments (air, eau, feu, terre) auquel il adjoignit l’Univers :

- le tétraèdre régulier, qui a 4 faces qui sont des triangles équilatéraux,

- le cube, qui a 6 faces qui sont des carrés,

- l' octaèdre régulier, qui a 8 faces qui sont des triangles équilatéraux,

- le dodécaèdre régulier, qui a 12 faces qui sont des pentagones réguliers,

- l' icosaèdre régulier, qui a 20 faces qui sont des triangles équilatéraux.

Les Grecs se sont aussi intéressés à des questions relatives à l’infiniment petit et à l’infiniment grand. Le philosophe Zénon d’Elée (vers 490 avant JC – 430 avant JC) a énoncé de nombreux paradoxes dont ceux d’Achille et de la tortue et celui de la flèche :

- Achille cherche à rattraper une tortue, lorsqu’il arrive à l’endroit où elle se situait au moment du départ, elle a elle-même avancé. Lorsque Achille est à ce nouvel endroit, la tortue est un peu plus loin et ainsi de suite… Il ne la rattrape donc jamais.

- Une flèche est lancée vers une cible, elle parcourt d’abord la moitié de la distance jusqu’à la cible. Puis, elle parcourt la moitié de ce qui reste, et ainsi de suite en parcourant toujours la moitié de ce qui reste. Elle n’atteindra donc jamais la cible.

N'oublions pas les recherches du Grec Apollonius sur les coniques, sections d'un cône par un plan : l'ellipse, la parabole et l'hyperbole. 

Les mathématiciens grecs ont fait d'énormes recherches sur les nombres, notamment grâce à Pythagore. Ils ont étudié les nombres premiers, les nombres "irrationnels". Ils ont donné une valeur approchée du nombre π, ont résolu quelques équations et ont fait progresser la trigonométrie.

Application :

          Une application (synonyme de fonction au collège) est une relation qui en particulier associe un nombre à un autre nombre.

Approximation décimale :

          Une approximation décimale d’un nombre est une évaluation approchée d’un nombre mise sous forme décimale.

          Exemple :   5 / 3 ≈ 1,66.

Arabie :

          L’Arabie a joué un rôle fondamental dans l’histoire des mathématiques.

          En reprenant les acquis des sciences grecques et hindoues, elle a permis le renouveau scientifique européen en algèbre comme en géométrie.

          Les arabes reprirent les chiffres utilisés en Inde (0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9).

          0 se dit SIFR en arabe d’où notre mot chiffre.

          Ils ont contribué à développer les connaissances essentiellement en algèbre et en trigonométrie.

          Le mathématicien arabe le plus connu est AL-KWAREZMI qui a écrit le livre « AL-DJABR » d’où le mot algèbre. Son nom a aussi donné naissance au mot algorithme.

Arc de cercle :

          Un arc de cercle est une partie d’un cercle limitée par deux de ses points.

Archimède :

          Archimède est un mathématicien grec (287-212 avant J.C.).

          Il naît à Syracuse et suit des cours avec Euclide.

          Archimède découvrit en prenant son bain la première loi de l’hydrostatique (la poussée d’un corps immergé est égal au poids d’eau déplacée) et on dit qu’il s’élança nu dans la rue en criant « Euréka, Euréka !» (J’ai trouvé !).

          On lui attribue la roue dentée, la vis sans fin, la poulie mobile et la théorie du levier (« un seul point d’appui suffit pour soulever le monde »). 

          En mathématiques, il réalise une approximation très bonne du nombre   en mesurant des polygones réguliers se rapprochant de plus en plus d’un cercle de rayon 1.

          Archimède calcule l’aire d’une sphère, celle d’un cylindre de révolution et fait de nombreuses découvertes en géométrie.

Are :

          Un are est une unité d’aire utilisée en agriculture et qui vaut 100 m².

Arête :

          Une arête est un segment reliant deux sommets consécutifs d’une même face d’un solide géométrique.  

Arête latérale :

          Une arête latérale est une arête dans un prisme droit ou dans une pyramide qui n’est pas une arête de base.

Arithmétique :

          L’arithmétique est une partie des mathématiques qui étudie les propriétés des nombres entiers, des décimaux et des fractions.

Arrondi :

          L’arrondi entier (à l’unité) d’un nombre est la valeur entière la plus proche de ce nombre.

          Par convention l’arrondi de 3,5 est 4.

          Exemple :   π ≈ 3,14.   L’arrondi entier de π est 3.

          L’arrondi d’ordre n d’un nombre est la valeur la plus proche de ce nombre à 10^{- n} près.

          Exemples :  √15 ≈ 3,87298.    L’arrondi d’ordre 1 de √15 est 3,9.

                                                         L’arrondi d’ordre 2 de √15 est 3,87.

                                                         L’arrondi d’ordre 3 de √15 est 3,873.

Axe :

          Un axe est une droite graduée à qui on attribue un sens. On dit qu’elle est orientée.

          On lui attribue une origine O, d’abscisse 0 et un point unité I , d’abscisse 1.

Axe d’un cylindre :

          L’axe d’un cylindre de révolution est la droite qui contient les centres des deux disques de base.

Axe d’un polygone régulier :

          L’axe d’un polygone régulier est la droite perpendiculaire à ce polygone et passant par son centre.

Axe de symétrie :

          Un axe de symétrie d’une figure est la droite par rapport à laquelle cette figure est invariante (par une symétrie axiale).    

          Un rectangle ou un losange ont deux axes de symétrie.

          Un carré a quatre axes de symétrie.

          Un cercle a une infinité d’axes de symétrie.

Axes de coordonnées :

          Les axes de coordonnées d’un repère du plan sont les deux droites graduées sur lesquelles on lit les coordonnées des points.

          Dans un repère orthogonal, l’axe des abscisses est horizontal, l’axe des ordonnées est vertical.

Axiome :

          Un axiome est un énoncé sur lequel on se base, mais qui ne peut être démontré.

          Exemple :  L’axiome d’Euclide dit que :

                            « étant donné un point A et une droite d, il existe une droite unique

                            parallèle à d passant par A ».

(dessin : Wilfried LEMIEUX)

La catégorie "Maths en magie" vous propose des tours de cartes ou de dés utilisant les notions mathématiques.

Faire des tours de magie devant un public est un vrai plaisir, un moment de détente pour celui qui le fait, mais aussi pour ceux qui y participent.

Sommaire prévu :

- Magie avec des nombres : De quel âge je me chausse ?

- Magie avec des nombres : Le roi de l'addition

- Magie avec des nombres : Les deux chiffres devinés

- Magie avec des nombres : Le fruit incroyable  

- Magie avec des nombres : La table d'addition magique

- Magie avec des nombres : Un carré magique personnalisé  

- Magie avec des nombres : Un carré super-magique à la demande

- Magie avec des nombres : Le chiffre fétiche

- Magie avec des nombres : Le calculateur prodige 

- Magie avec des cartes : La preuve par 9

- Magie avec des cartes : Le 13 qui porte chance  

- Magie avec des cartes : Voilà la carte choisie

- Magie avec des cartes : La dame de cœur

- Magie avec des cartes : Les dames et les rois

- Magie avec des cartes : Les couples de cartes

- Magie avec des cartes : Epelez les piques

- Magie avec des cartes : Le mathématicien et le magicien  

- Magie avec des cartes : Les trois tas

- Magie avec des dés : Le total des cinq faces cachées

- Magie avec des dés : Devinez le coup de dés  

La Chine :  (vers 1300 avant JC – vers 1300 après JC)

Des nombres, du calcul et de la géométrie. L'invention du boulier. 

En Chine, l’usage des nombres est très ancien. Des inscriptions sur os datant du XIII^ème siècle avant JC comportaient déjà des indications astronomiques. 

Chez les Chinois, les nombres restent un peu magiques :  on travaillait sur les carrés magiques (dans lequel la somme des nombres par ligne, par colonne et par diagonale est la même) et d’après la légende, l’empereur Yu le Grand (2200 avant JC) aurait aperçu une configuration de carré magique (Luoshu) sur la carapace d’une tortue divine…

Le calcul reposait sur des pratiques divinatoires. Il était lié à l’établissement du calendrier (fait par les rois). 

Les mathématiques restaient très proches :  de la bureaucratie, des problèmes de comptabilité, du calcul des impôts et des taux de change. 

Dans le livre de mathématiques "Chiu Chang", qui date du I^er siècle après JC, on trouve :

- des additions et soustractions de fractions et des pourcentages pour l'arpentage ;

- des suites de nombres et la règle de trois pour les distributions proportionnelles ;

- des racines carrées et cubiques pour les mesures des champs ;

- des volumes de solides dans un texte pour les ingénieurs ;

- des résolutions de systèmes d'équations à deux inconnues ;

- des problèmes sur la longueur des côtés d'un triangle rectangle.

Dès l’origine, les nombres s’exprimaient dans un système de position avec un symbole pour chaque chiffre de 1 à 10. Vers 250 après JC, les Chinois ont aussi utilisé un système de numération avec des traits horizontaux et verticaux.

En arithmétique, les Chinois savaient déjà au II^ème siècle avant JC travailler sur les fractions (les simplifier, les réduire au même dénominateur) alors qu’en Europe, on ne saura le faire qu’au XV^ème et XVI^ème siècle.  

Les mathématiciens chinois utilisaient même déjà quelques nombres négatifs.  Vers 1100, les Chinois ont travaillé sur le fameux triangle que l'on a attribué plus tard à Pascal.

Les Chinois pratiquaient l'algèbre sans utiliser les symboles, en écrivant tout en mots. Dès les années 1000, ils ont mis au point un système de notations qui leur permettait de manipuler des équations jusqu'au neuvième degré. Ils savaient résoudre les systèmes d'équations à deux inconnues et les équations du second degré.

Après l’usage des cailloux, des entailles sur les os, des entassements d’objets divers, le boulier chinois ‘‘suanpan’’ est la première machine à calculer. On l’utilise vers le XII^ème siècle. Le calcul avec les nombres chinois n’est pas très simple, c’est peut-être ce qui a incité les Chinois à utiliser le boulier.

Voici quelques mathématiciens chinois :

LIOU HOUI (vers 250), chinois :

Il trouve π ≈ 3,14159 en considérant un polygone régulier de 172 côtés.

Il détermine le volume d’un tronc de pyramide à base carrée.

TSU CH’UNG-CHIH (430 – 501), chinois :

Il donne un encadrement extraordinaire :  3,1415926 < π < 3,1415927 qui ne sera dépassé qu’au XV^ème siècle.

CHOU CHI-KIE (vers 1300), chinois :

Il traite d’équations jusqu’au degré 14.

Il évalue aussi la somme des premiers carrés :  1² + 2² + 3² + ……. + n²  =  n(n + 1)(2n + 1)/6, ce qui a été trouvé parallèlement en Arabie.

(dessin : Wilfried LEMIEUX)

La catégorie "Maths en figures" vous propose de nombreuses activités qui vous permettent de réaliser vous-même de belles figures planes ou de jolis solides de l'espace, mais aussi de rentrer dans le monde des illusions d'optique.

La géométrie, c'est la science des constructions, il est quelquefois difficile de s'y hasarder, mais quand on obtient une jolie figure, on est fier de sa réalisation. Le plaisir est le même que pour l'enfant qui fait son premier beau dessin.

Sommaire prévu :

- Construction d'une étoile à six branches

- Construction d'un hexagone en damier

- Construction d'une étoile en damier

- Construction d'une étoile mystérieuse 

- Construction de l'étoile de David

- Construction des rosaces 

- Construction d'une rosace flamme 

- Construction d'un moulin

- Construction des ailes d'un moulin

- Construction de la fleur

- Construction de la rose des vents

- Construction du treillis en damier

- Construction d'un tétraèdre régulier

- Construction d'un cube

- Construction d'un octaèdre régulier

- Construction d'un dodécaèdre régulier

- Construction d'un icosaèdre régulier

- Illusion d'optique : Ces 3 carrés se dilatent ou se contractent

- Illusion d'optique : Mouvement avec des chutes en ligne courbe

- Illusion d'optique : Cube de Necker, où est l'étoile ?

- Illusion d'optique : Les dés sont-ils en creux ou en relief ?

- Illusion d'optique : Deux flèches pour 4 hampes

- Illusion d'optique : L'empilement de briques est-il possible ou non ?

- Illusion d'optique : Laquelle est la plus grande, l'étoile noire ou l'étoile blanche ?

- Illusion d'optique : La fourchette a t'elle deux ou trois branches ?

- Illusion d'optique : Illusion du T inversé : les deux barres sont-elles de même grandeur ?

- Illusion d'optique : Est-ce une jeune femme ou une vieille femme ?

- Illusion d'optique : La grille d'Hermann : croyez-vous voir des tâches grises ?

- Illusion d'optique : Image illusoire : le cercle existe t'il ou non ?

- Illusion d'optique : Est-ce le mari ou le beau-père ?

- Illusion d'optique : Triangle de Kanisza : le triangle existe t'il ou non ?

- Illusion d'optique : Les deux Golems : sont-ils de même grandeur ?

- Illusion d'optique : Lignes de Muller-Lyer :  sont-elles de même grandeur ?

- Illusion d'optique : Monuments auto contradictoires : ont-ils 2 ou 3 colonnes ?

- Illusion d'optique : Y a t'il deux ou trois branches ?

- Illusion d'optique : L'escalier sans fin

- Illusion d'optique : Les lignes sont-elles parallèles ?

- Illusion d'optique : L'illusion de Titchener : les cercles centraux sont-ils de même grandeur ?

- Illusion d'optique : L'illusion du café wall : les lignes sont-elles parallèles ?

- Illusion d'optique : Combien y a t'il d'outils ?

- Illusion d'optique : Les poupées russes sont-elles de même grandeur ?